9 Compacidade

Capítulo 9
Compacidade

No Capítulo 8, vimos que conexidade é uma propriedade preservada pelas aplicações contínuas. Assim sabemos, por exemplo, que a imagem de um intervalo por uma aplicação contínua

f : ℝ \to ℝ

é também um intervalo. Neste capítulo, vamos estudar compacidade, uma propriedade que também é preservada por aplicações contínuas.

9.1 Deﬁnição e Exemplos

Antes de mais nada, precisamos deﬁnir o conceito de cobertura e subcobertura.

Deﬁnição 9.1 (Cobertura). Em um espaço topológico $(X, τ_{X})$ , dado um conjunto $A \subset X$ , uma cobertura (de abertos) de $A$ é uma família $𝒰 \subset τ_{X}$ , tal que

A \subset ⋃_{U \in 𝒰} U .

Uma subcobertura de $𝒰$ é uma subfamília $𝒱 \subset 𝒰$ que também é uma cobertura de $A$ . Também dizemos que $𝒰$ cobre $A$ .

Muitas vezes, utilizamos a expressão cobertura de $A$ para designarmos uma família qualquer de subconjuntos de $X$ cuja união contenha $A$ . Neste livro, utilizaremos o adjetivo aberta ou a locução de abertos apenas quando não for claro pelo contexto se a cobertura é formada por conjuntos abertos ou não. Para uma cobertura que não é formada necessariamente por abertos, diremos “uma cobertura não necessariamente aberta”.

Deﬁnição 9.2 (Compacidade). Seja $X$ um espaço topológico. Dizemos que $K \subset X$ é compacto, quando toda cobertura aberta de $K$ admitir uma subcobertura ﬁnita. Se $X$ for compacto, então dizemos que $X$ é um espaço topológico compacto.

Note que $K \subset X$ será compacto se for um espaço topológico compacto quando dotado da topologia induzida.

Vejamos alguns exemplos. Primeiro, um exemplo de um conjunto que não é compacto.

Exemplo 9.3 (O intervalo $(0, 1)$ ). Considere a cobertura de $(0, 1)$ dada por

𝒰 = \{(\frac{1}{k}, 1)| k = 1, 2, \dots\} .

É evidente que tal cobertura não possui subcobertura ﬁnita. Portanto, o espaço $(0, 1)$ , com sua topologia usual, não é compacto.

Exemplo 9.4 (Conjunto Finito). Seja $X$ um conjunto ﬁnito. Então, $X$ será compacto em qualquer topologia. De fato, todas as coberturas serão ﬁnitas. A imagem de $X$ por uma aplicação qualquer $f : X \to Y$ será sempre ﬁnita.

A compacidade é uma propriedade que de certa forma generaliza o Exemplo 9.4.

Exemplo 9.5 (Topologia Discreta). Na topologia discreta, os únicos compactos são os conjuntos ﬁnitos. Isso porque qualquer conjunto $A$ é escrito como

A = ⋃_{x \in A} \{x\} .

E a cobertura $\{\{x\}| x \in A\}$ não possui subcobertura.

Exemplo 9.6 (Topologia Caótica). Seja $X$ um espaço topológico com a topologia $τ_{X} = \{\emptyset, X\}$ . Então, qualquer subconjunto de $X$ é compacto. De fato, basta que $τ_{X}$ seja uma família ﬁnita para que o argumento funcione.

Exemplo 9.7 (Conjunto Ilimitado). Seja $X$ um espaço métrico. Se $X$ é ilimitado, então $X$ não é compacto. De fato, dado $a \in X$ ,

X = ⋃_{n \in ℕ} B_{n} (a)

é uma cobertura sem subcobertura ﬁnita. Assim, todo subconjunto compacto de um espaço métrico é limitado. Em particular, $ℝ^{n}$ — ou qualquer subconjunto ilimitado de $ℝ^{n}$ — não é compacto na topologia usual.

9.1.1 Exercícios

9.1.1. Seja $K$ um conjunto compacto e $F \subset K$ um conjunto fechado. Mostre que $F$ é compacto.

9.1.2. Seja $K$ um conjunto compacto e $f$ uma aplicação contínua. Mostre que $f (K)$ é compacto.

9.1.3. Seja $ℬ$ uma base para a topologia de $X$ . Mostre que se toda cobertura de $K \subset X$ formada apenas por elementos em $ℬ$ tiver subcobertura ﬁnita, então $K$ é compacto.

9.1.4. Mostre que se $K_{1}, \dots, K_{n} \subset X$ são compactos, então $K = K_{1} \cup \dots \cup K_{n}$ também é compacto.

9.1.5. Considere $K \subset Y \subset X$ , onde $(X, τ_{X})$ é um espaço topológico. Mostre que $K$ é compacto na topologia $τ_{X}$ se, e somente se $K$ é compacto na topologia induzida $Y \cap τ_{X}$ .

9.1.6. Mostre que um subconjunto $K$ de um espaço topológico $X$ é compacto se, e somente se, $K$ é um espaço topológico compacto na topologia induzida de $X$ .

9.2 Propriedades Elementares

Vamos estabelecer algumas propriedades elementares e algumas caracterizações de compacidade. A mais importante dessas propriedades é o fato de a imagem de um compacto por uma aplicação contínua também ser um conjunto compacto. A mais simples é o fato de todo fechado dentro de um compacto ser compacto.

Proposição 9.8. Se $K \subset X$ é compacto e $F \subset K$ é fechado, então $F$ é compacto.

Demonstração. Seja $𝒰$ uma cobertura de $F$ . Então, $𝒱 = 𝒰 \cup \{F c\}$ é uma cobertura de $K$ . Pela compacidade de $K$ , existe uma subcobertura $𝒱^{'} \subset 𝒱$ ﬁnita. Neste caso, $𝒰^{'} = 𝒱^{'} ∖ \{F c\}$ é uma subfamília ﬁnita de $𝒰$ , e cobre $F$ . □

Proposição 9.9. Sejam $X$ e $Y$ espaços topológicos, $K \subset X$ um compacto e $f : X \to Y$ uma aplicação contínua. Então, $f (K)$ é um compacto de $Y$ .

Demonstração. Seja $𝒰$ uma cobertura aberta de $f (K)$ , então, $f^{- 1} (𝒰)$ é uma cobertura aberta de $K$ . Pela compacidade de $K$ , existe uma subfamília ﬁnita $𝒱 \subset 𝒰$ tal que $f^{- 1} (𝒱)$ cobre $K$ . Mas isso implica que $𝒱$ cobre $f (K)$ . Ou seja, $f (K)$ é compacto. □

Exemplo 9.10. Seja $X_{λ}$ ( $λ \in Λ$ ) uma família de espaços topológicos não vazios. Então,

X = \prod_{λ \in Λ} X_{λ},

com a topologia produto, só pode ser compacto se todos os $X_{λ}$ forem compactos. De fato, se $X$ é compacto, como as projeções canônicas $π_{λ} : X \to X_{λ}$ são contínuas e sobrejetivas, os espaços $X_{λ} = π_{λ} (X)$ são todos compactos. O Teorema 9.41, mais adiante, mostrará que vale a recíproca: se todos os $X_{λ}$ forem compactos, então $X$ é compacto.

Para veriﬁcarmos se um espaço topológico é ou não compacto, a princípio, precisamos veriﬁcar que toda cobertura por abertos possui uma subcobertura ﬁnita. No entanto, de posse de uma base da topologia, a veriﬁcação pode ser restrita a subcoberturas desta base.

Proposição 9.11. Seja $ℬ$ uma base de um espaço topológico $X$ . Então, $X$ é compacto se, e somente se, toda cobertura $𝒰 \subset ℬ$ possuir subcobertura ﬁnita.

Demonstração. É evidente que a condição é necessária. Vamos mostrar que é suﬁciente. Seja $𝒱$ uma cobertura de abertos de $X$ . Cada aberto $V \in 𝒱$ pode ser escrito da forma

V = ⋃_{U \in 𝒰_{V}} U,

para uma família $𝒰_{V} \subset ℬ$ adequada. Por hipótese,

𝒰 = ⋃_{V \in 𝒱} 𝒰_{V}

possui uma subcobertura ﬁnita. Em particular, existem $V_{1}, \dots, V_{n} \in 𝒱$ tais que a família $𝒰_{V_{1}} \cup \dots \cup 𝒰_{V_{n}}$ cobre $X$ . Ou seja, $V_{1}, \dots, V_{n}$ é uma subcobertura ﬁnita de $𝒱$ . □

Vamos ao exemplo mais importante de conjunto compacto.

Exemplo 9.12 (Intervalo Fechado Limitado em $ℝ^{n}$ ). O conjunto $I = [a, b]$ é compacto na topologia usual induzida de $ℝ$ . Vamos usar a Proposição 9.11. Primeiramente, note que a família de todos os intervalos abertos forma uma base para a topologia de $I$ . Lembre-se que intervalos da forma $[a, c)$ e $(c, b]$ são abertos na topologia de $I$ .

Seja $𝒰$ uma cobertura de $I$ formada por intervalos abertos. Seja $J \subset I$ o conjunto de todos os elementos $c \in I$ tais que $[a, c]$ possui uma subcobertura ﬁnita de $𝒰$ . É claro que $a \in J$ .

Note que para cada $V \in 𝒰$ ,

V \cap J \neq \emptyset \Leftrightarrow V \subset J .

Mas isso implica que tanto $J$ quanto $I ∖ J$ são abertos. Pela conexidade de $I$ , temos que $J = I$ .

Em um espaço com base enumerável, podemos caracterizar compacidade em termos de sequências de abertos.

Corolário 9.13. Um espaço topológico $X$ com base enumerável é compacto se, e somente se, para toda sequência crescente de abertos $A_{1} \subset A_{2} \subset \dots$ tal que

⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} = X,

existir $N$ tal que $A_{N} = X$ .

Demonstração. Tal sequência $A_{n}$ é uma cobertura de $X$ . Se $X$ é compacto, existe uma subcobertura ﬁnita $A_{n_{1}}, \dots, A_{n_{k}}$ . Basta tomar $N = max \{n_{1}, \dots, n_{k}\}$ , para ter $A_{N} = X$ .

Por outro lado, se $ℬ$ é uma base enumerável, e se $X$ não é compacto, existe uma subfamília $\{B_{1}, B_{2}, \dots\} \subset ℬ$ que cobre $X$ , mas que não possui subcobertura ﬁnita. Fazendo $A_{n} = B_{1} \cup \dots \cup B_{n}$ , temos uma sequência crescente de abertos $A_{1} \subset A_{2} \subset \dots$ tal que sua união é $X$ , mas todos os $A_{n}$ são diferentes de $X$ . □

Proposição 9.14. Sejam $X_{1}, \dots, X_{n}$ espaços topológicos compactos não vazios. Então, com a topologia produto, o espaço $X = X_{1} \times \dots \times X_{n}$ é compacto.

Demonstração. Basta mostrar para o caso $n = 2$ . Seja $𝒰$ uma cobertura aberta de $X$ . Pela Proposição 9.11, podemos assumir que os abertos em $𝒰$ são da forma $U \times V$ , com $U$ e $V$ abertos de $X_{1}$ e $X_{2}$ , respectivamente.

Para cada $a \in X_{1}$ , o subespaço $\{a\} \times X_{2}$ é compacto (veja a Proposição 7.30). Assim, existe uma subfamília $𝒰_{a} \subset 𝒰$ que cobre $\{a\} \times X_{2}$ . Note que $𝒰_{a}$ é da forma

𝒰_{a} = \{U_{1} \times V_{1}, \dots, U_{m} \times V_{m}\} .

Em particular, fazendo $U^{a} = U_{1} \cap \dots \cap U_{m}$ , temos que $U^{a} \subset X_{1}$ é aberto e $𝒰_{a}$ cobre $U^{a} \times X_{2}$ .

Como os conjuntos da forma $U^{a}$ cobrem $X_{1}$ , e $X_{1}$ é compacto, existem $a_{1}, \dots, a_{k} \in X_{1}$ tais que $X_{1} = U^{a_{1}} \cup \dots \cup U^{a_{k}}$ . Ou seja,

𝒰^{'} = 𝒰_{a_{1}} \cup \dots \cup 𝒰_{a_{k}}

é uma subfamília ﬁnita de $𝒰$ que cobre $X$ . □

Como os conjuntos fechados são exatamente os complementares dos abertos, a compacidade pode ser facilmente descrita em termos de conjuntos fechados.

Proposição 9.15. Um espaço topológico é compacto se, e somente se, toda família de fechados $ℱ$ , com

⋂_{F \in ℱ^{'}} F \neq \emptyset

para toda subfamília ﬁnita $ℱ^{'} \subset ℱ$ , for tal que

⋂_{F \in ℱ} F \neq \emptyset .

Se o espaço tiver base enumerável, então, toda sequência decrescente de fechados não vazios $F_{1} \supset F_{2} \supset \dots$ for tal que

⋂_{n = 1}^{\infty} F_{n} \neq \emptyset .

Demonstração. A primeira parte é a deﬁnição de compacidade escrita em termos de conjuntos fechados. A segunda parte é o Corolário 9.13. □

9.2.1 Exercícios

9.2.1. De um exemplo de uma aplicação contínua $f : (0, 1) \to ℝ$ ilimitada.

9.2.2. Pode existir uma aplicação contínua $f : [0, 1] \to ℝ$ e uma sequência $x_{n} \in [0, 1]$ tal que $f (x_{n}) \to \infty$ ?

9.2.3. Por que na demonstração da Proposição 9.11 podemos aﬁrmar que existem $V_{1}, \dots, V_{n} \in 𝒱$ tais que a família $𝒰_{V_{1}} \cup \dots \cup 𝒰_{V_{n}}$ cobre $X$ .

9.2.4. Por que na demonstração da Proposição 9.14 dizemos que basta mostrar para o caso $n = 2$ ?

9.3 Compacidade nos Reais

Já vimos que os compactos de $ℝ$ , em sua topologia usual, são limitados. Vamos mostrar que são fechados.

Lema 9.16. Um subconjunto compacto $K \subset ℝ$ , quando $ℝ$ é dotado de sua topologia usual, é um fechado.

Demonstração. Suponha que $K$ não é fechado. Então, podemos escolher $x \in \bar{K} ∖ K$ . Para todo $k \in K$ , tome uma vizinhança aberta de $k$ , $V_{k}$ , e uma vizinhança aberta de $x$ , $U_{k}$ , tais que $U_{k} \cap V_{k} = \emptyset$ . Como $k \in U_{k}$ , é evidente que

K \subset ⋃_{k \in K} U_{k} .

Por outro lado, escolhendo $k_{1}, \dots, k_{n} \in K$ , e fazendo $U = U_{k_{1}} \cup \dots \cup U_{k_{n}}$ , temos que $V = V_{k_{1}} \cap \dots \cap V_{k_{n}}$ é uma vizinhança de $x$ , com $U \cap V = \emptyset$ . Mas como $k \in \bar{K}$ , temos que $K \cap V \neq \emptyset$ . E portanto, $K ⊄ U$ . Ou seja, a cobertura $\{U_{k}| k \in K\}$ não possui subcobertura ﬁnita. □

Assim, os compactos de $ℝ$ , em sua topologia usual, são fechados e limitados. Vamos mostrar que essa propriedade caracteriza os compactos de $ℝ$ .

Proposição 9.17. Quando $ℝ$ é munido de sua topologia usual, um subconjunto $K \subset ℝ$ é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.

Demonstração. Pelo Exemplo 9.7 e pelo Lema 9.16, se $K$ é compacto, então, é fechado e limitado. Por outro lado, se $K$ é fechado e limitado, então, existe $M \in ℝ$ tal que $K \subset [- M, M]$ , e este último é compacto pelo Exemplo 9.12. Assim, a Proposição 9.8 garante que $K$ é compacto. □

A proposição a seguir é de extrema importância e é muito utilizada.

Proposição 9.18. Seja $f : X \to ℝ$ uma função contínua deﬁnida num compacto $X$ . Então, existe $x \in X$ tal que $f (x) = sup f (X)$ .

Demonstração. Sabemos que $f (X)$ é um compacto de $ℝ$ . Se não existir um tal $x \in X$ , então,

f (X) \subset (- \infty, sup f (X)) = ⋃_{n = 1}^{\infty} (- \infty, sup f (X) - \frac{1}{n}) .

Pela compacidade de $f (X)$ , existe $n$ tal que

f (X) \subset (- \infty, sup f (X) - \frac{1}{n}),

o que, pela deﬁnição de $sup f (X)$ , é impossível. □

Outras propriedades importantes da topologia usual dos números reais são na verdade propriedades gerais dos espaços métricos e serão vistas em breve.

9.3.1 Exercícios

9.3.1. Se $f : ℝ \to ℝ$ é contínua, pode existir um conjunto limitado $M \subset ℝ$ tal que $f (M)$ é ilimitado? Justiﬁque ou dê um exemplo.

9.3.2. Seja

\begin{matrix} f : & (0, 1) & \to & ℝ \\ x & \mapsto & \frac{1}{x} \end{matrix} .

Existe $g : ℝ \to ℝ$ contínua tal que $f = g |_{(0, 1)}$ ?

9.3.3. Considere o conunto dos racionais $ℚ$ com a topologia induzida dos reais. O que você pode dizer sobre os subconjuntos compactos de $ℚ$ ?

9.3.4. Descubra o que é um Espaço de Hausdorﬀ e mostre, como no Lema 9.16, que nos Espaços de Hausdorﬀ os conjuntos compactos são fechados.

9.3.5. Considere $ℝ$ com a topologia $τ = \{(- \infty, a)| a \in ℝ\} \cup \{\emptyset, ℝ\}$ . Quais são os conjuntos compactos?

9.3.6. Considere a topologia em $ℝ$ dada pelo Exercício 9.3.5. Mostre que uma função $f : X \to ℝ$ deﬁnida em um espaço topológico compacto $X$ não vazio sempre atinge o máximo, mas pode não atingir o mínimo.

9.3.7. Considere $ℝ$ com a topologia $τ$ gerada pela família $\{[a, b)| a, b \in ℝ\}$ . Quando é que $x_{n} \to_{}^{τ} x$ nessa topologia? (Usualmente denotamos essa convergência por $x_{n} \to x^{+}$ .)

9.3.8. Mostre que a topologia $τ$ do Exercício 9.3.7 é mais forte que a topologia usual dos reais.

9.4 Compacidade em $ℝ^{n}$

Assim como no caso dos reais, se $ℝ^{n}$ é dotado da topologia produto (sua topologia usual), $K \subset ℝ^{n}$ é compacto se, e somente se, é fechado e limitado. Se usarmos a compacidade de ${[- M, M]}^{n}$ no lugar da compacidade de $[- M, M]$ , a demonstração é exatamente a mesma.

Teorema 9.19. Quando $ℝ^{n}$ é munido de sua topologia usual, um subconjunto $K \subset ℝ^{n}$ é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.

Demonstração. Faça exatamente como na Proposição 9.17, usando a compacidade de ${[- M, M]}^{n}$ no lugar da compacidade de $[- M, M]$ . A compacidade de ${[- M, M]}^{n}$ é consequência da Proposição 9.14. □

Outras propriedades que vamos investigar referentes a compacidade em $ℝ^{n}$ , são na verdade propriedades gerais dos espaços métricos. Sendo assim, vamos encerrar esta seção e dar prossegimento ao estudo da compacidade em espaços métricos.

9.4.1 Exercícios

9.4.1. Mostre que se $K \subset ℝ^{2}$ é um compacto na topologia usual, então existem $K_{1}, K_{2} \subset ℝ$ , compactos na topologia usual tais que $K \subset K_{1} \times K_{2}$ .

9.4.2. Na topologia usual, existe algum aberto de $R^{n}$ que seja compacto?

9.5 Compacidade em Espaços Métricos

A topologia dos espaços métricos pode ser descrita em termos de convergência de sequências. Dois conceitos simpliﬁcam o elo entre compacidade e convergência de sequências: completude e limitação total.

Deﬁnição 9.20 (Sequência de Cauchy e Completude). Em um espaço métrico $(X, d)$ , dizemos que uma sequência $x_{n} \in X$ é uma sequência de Cauchy quando para todo $𝜀 > 0$ existir $N \in ℕ$ tal que

m, n \geq N \Rightarrow d (x_{n}, x_{m}) \leq 𝜀 .

Dizemos que $X$ é completo quando toda sequência de Cauchy $x_{n}$ convergir para algum $x \in X$ .

Sequências convergentes são sempre de Cauchy. Assim, um espaço métrico é completo quando as sequências forem convergentes se, e somente se, forem de Cauchy. De certa forma, as sequências de Cauchy podem ser entendidas como sequências que “deveriam convergir”, e que se não convergem, é porque em um certo sentido o suposto ponto de convergência está faltando. Ou seja, se a sequência de Cauchy não converge é porque o espaço é incompleto.

Exemplo 9.21. Com a métrica usual, conjunto $(0, 1]$ não é completo. O ponto que “falta” seria justamente o $0$ .

Não vamos discutir propriedades dos espaços métricos além do necessário para discutir questões topológicas. A completude de um espaço topológico não é uma propriedade topológica. Duas métricas $d$ e $r$ em um mesmo conjunto $X$ podem ser compatíveis (induzem a mesma topologia) e serem tais que $(X, d)$ é completo, $(X, r)$ é incompleto.

Exemplo 9.22. O conjunto $(0, 1]$ é homeomorfo a $[1, \infty)$ . Ou seja, podemos colocar em $(0, 1]$ a métrica Euclideana, e obtermos um espaço incompleto, mas também podemos transportar para $(0, 1]$ , através do homeomorﬁsmo $x \mapsto \frac{1}{x}$ , a métrica Euclideana de $[1, \infty)$ . Em outras palavras, $(0, 1]$ é completo com a métrica

d (x, y) = |\frac{1}{y} - \frac{1}{x}| .

Em nossa discussão sobre compacidade, a propriedade mas importante das sequências de Cauchy é dada pelo seguinte Lema.

Lema 9.23. Seja $(X, d)$ um espaço métrico. E seja $x_{n}$ uma sequência de Cauchy tal que existe uma subsequência $x_{n_{k}}$ que converge para $x$ . Então, $x_{n}$ converge para $x$ .

Demonstração. Seja $𝜀 > 0$ . Então, existe $N$ tal que

n, m \geq N \Rightarrow d (x_{n}, x_{m}) < \frac{𝜀}{2},

e $n_{k} \geq N$ tal que $d (x_{n_{k}}, x) < \frac{𝜀}{2}$ . Assim, substituindo $m$ por $n_{k}$ , temos que

\begin{array}{l} n \geq N \Rightarrow d (x_{n}, x) & \leq d (x_{n_{k}}, x) + d (x_{n}, x_{n_{k}}) \\ < \frac{𝜀}{2} + \frac{𝜀}{2} = 𝜀 . \end{array}

□

Deﬁnição 9.24 (Limitação Total). Um espaço métrico $(X, d)$ é totalmente limitado quando, dado $𝜀 > 0$ , existirem ﬁnitas bolas $B_{𝜀} (x_{1}), \dots, B_{𝜀} (x_{n})$ com

X = ⋃_{j = 1}^{n} B_{𝜀} (x_{j}) .

Dizer que um espaço métrico é totalmente limitado, é o mesmo que dizer que toda sequência possui uma subsequência de Cauchy.

Lema 9.25. Um espaço métrico $(X, d)$ é totalmente limitado se, e somente se, toda sequência possuir uma subsequência de Cauchy.

Demonstração. Suponha que $X$ seja totalmente limitado. Para uma sequência arbitrária $x_{n}$ , vamos escolher uma subsequência de Cauchy. Faça $X_{0} = X$ . Para cada $k = 1, 2, \dots$ , $X_{k - 1}$ pode ser coberto por uma quantidade ﬁnita de bolas de raio $\frac{1}{k}$ . Seja $B_{k}$ a bola tal que $X_{k - 1} \cap B_{k}$ contém inﬁnitos termos da sequência original. Faça $X_{k} = X_{k - 1} \cap B_{k}$ , e escolha $n_{k}$ (maior que $n_{k - 1}$ ) tal que $x_{n_{k}} \in X_{k}$ . Esta é uma subsequência de Cauchy. De fato, para $k, j \geq N$ , como $X_{k}$ e $X_{j}$ tem diâmetro menor ou igual a $\frac{1}{N}$ , temos que

d (x_{n_{k}}, x_{n_{j}}) \leq \frac{2}{N} .

Por outro lado, se $X$ não é totalmente limitado, então, existe $𝜀 > 0$ tal que nenhuma cobertura de $X$ por bolas de raio $𝜀$ é ﬁnita. Sendo assim, escolha $x_{1} \in X$ , e escolhido $x_{n}$ , escolha

x_{n + 1} \in X ∖ ⋃_{j = 1}^{n} B_{𝜀} (x_{j}) .

Para esta sequência, quando $j \neq k$ , $d (x_{j}, x_{k}) \geq 𝜀$ . Para esta sequência, nenhuma subsequência é de Cauchy. □

Um fato simples sobre espaços (métricos) totalmente limitados é que eles possuem uma base enumerável.

Lema 9.26. Todo espaço métrico $(X, d)$ totalmente limitado possui uma base enumerável.

Demonstração. Pela Proposição 5.26, basta mostrar que existe um subconjunto enumerável denso. Para cada $n \in ℕ *$ , existe um conjunto ﬁnito $S_{n} \subset X$ tal que

X = ⋃_{x \in S_{n}} B_{\frac{1}{n}} (x) .

Neste caso,

S = ⋃_{n = 1}^{\infty} S_{n}

é um enumerável denso. De fato, se $A \subset X$ é aberto, então $A$ contém uma bola $B_{\frac{1}{n}} (a)$ . Pela deﬁnição de $S_{n}$ , existe $s \in S_{n}$ tal que $a \in B_{\frac{1}{n}} (s)$ . Mas isso signiﬁca que $s \in B_{\frac{1}{n}} (a) \subset A$ . □

Em espaços com base enumerável, a compacidade é mais fácil de ser caracterizada.

Lema 9.27. Se $X$ é um espaço topológico com uma base $ℬ$ enumerável, então, são equivalentes:

$X$ não é compacto.
Existe uma cobertura aberta enumerável de $X$ sem subcobertura ﬁnita.
Existe uma sequência de abertos
$U_{1} ⊊ U_{2} ⊊ \dots,$

com $X = ⋃_{n = 1}^{\infty} U_{n}$ .

Demonstração. _ $(3) \Rightarrow (2) \Rightarrow (1)$

Estas implicações são evidentes.

_ $(1) \Rightarrow (3)$

Este é o conteúdo do Corolário 9.13. □

Agora podemos caracterizar os espaços métricos compactos em termos de convergência de sequências. Note que os lemas anteriores implicam que um espaço métrico é completo e totalmente limitado se, e somente se, toda sequência possuir uma subsequência convergente.

Proposição 9.28. Seja $(X, d)$ um espaço métrico. Então, as seguintes aﬁrmações são equivalentes.

$X$ é compacto.
Toda sequência $x_{n} \in X$ tem uma subsequência convergente.
$X$ é completo e totalmente limitado.

Demonstração. Já vimos que os itens (2) e (3) são equivalentes, mas mesmo assim, vamos formalizar aqui a demonstração.

_ $(2) \Leftrightarrow (3)$

Se $x_{n}$ é uma sequência, e $X$ é totalmente limitado, então, pelo Lema 9.25, $x_{n}$ possui uma subsequência de Cauchy. Mas se $X$ também é completo, essa subsequência é convergente.

Por outro lado, se $X$ não é completo, então, existe uma sequência de Cauchy $x_{n}$ que não converge. Pelo Lema 9.23, $x_{n}$ não possui subsequência convergente. E se $X$ não é totalmente limitado, o Lema 9.25 implica que existe uma sequência $x_{n}$ sem subsequência de Cauchy. Em particular, $x_{n}$ não possui subsequência convergente, já que toda sequência convergente é de Cauchy.

_ $(1) \Rightarrow (2)$

Suponha que $X$ é compacto. Seja

F_{N} = \bar{\{x_{n}| n \geq N\}} .

Os conjuntos $F_{N}$ formam uma sequência decrescente de fechados não vazios. Pela compacidade de $X$ , sabemos que o limite $F = ⋂_{N = 1}^{\infty} F_{N}$ não pode ser vazio. Portanto, existe $x \in F$ . Agora, para cada $k = 1, 2, \dots$ , escolha $n_{k} \to \infty$ tal que $x_{n_{k}} \in B_{\frac{1}{k}} (x)$ . Então, a sequência $x_{n_{k}}$ é uma subsequência de $x_{n}$ que converge para $x$ .

_ $(2) e (3) \Rightarrow (1)$

Se $X$ é totalmente limitado, então, pelo Lema 9.26, $X$ tem base enumerável. Neste caso, se $X$ não é compacto, pelo Lema 9.27, existe uma sequência de abertos $U_{1} ⊊ U_{2} ⊊ \dots$ , tais que $X = ⋃_{n = 1}^{\infty} U_{n}$ .

Escolha $x_{n} \in U_{n + 1} ∖ U_{n}$ . Para qualquer $x \in X$ , existe $N$ tal que $x \in U_{N}$ . Portanto, para $n \geq N$ , $x_{n} \notin U_{N}$ . Ou seja, nenhuma subsequência de $x_{n}$ pode convergir para $x$ . Como $x \in X$ é arbitrário, nenhuma subsequência de $x_{n}$ converge. □

9.5.1 Exercícios

9.5.1. Em um espaço métrico, toda sequência convergente é de Cauchy.

9.5.2. Mostre que

d_{1} (x, y) = |y - x| e d_{2} (x, y) = |\frac{1}{y} - \frac{1}{x}|

induzem a mesma topologia em $(0, 1]$ .

9.5.3. O que está errado na seguinte frase?

Seja $X$ um espaço topológico completo?

9.5.4. Sejam $S_{n}$ os conjuntos do Lema 9.26. Considere as famílias

𝒮_{n} = \{B_{\frac{1}{n}} (x)| x \in S_{n}\} .

Mostre que de fato,

𝒮 = ⋃_{n = 1}^{\infty} 𝒮_{n}

é uma base da topologia.

9.5.5. Na demonstração da Proposição 9.28, usamos o seguinte passo:

Agora, para cada $k = 1, 2, \dots$ , escolha $n_{k} \to \infty$ tal que $x_{n_{k}} \in B_{\frac{1}{k}} (x)$ .

Por que sabemos que existe tal $k$ ?

9.5.6. Na demonstração da Proposição 9.28, usamos o seguinte passo:

Agora, para cada $k = 1, 2, \dots$ , escolha $n_{k} \to \infty$ tal que $x_{n_{k}} \in B_{\frac{1}{k}} (x)$ .

Por que é importante que $n_{k} \to \infty$ ?

9.5.7. Mostre que se $X$ é compacto e todo ponto tem uma base enumerável de vizinhanças, então toda sequência tem subsequência convergente.

9.5.8. Na resolução do Exercíco 9.5.7, quais passos não funcionariam se não houvesse a hipótese de cada ponto de $X$ ter uma base enumerável de vizinhanças?

9.5.9. Procure (internet?) uma exemplo de um espaço compacto tal que nem toda sequência tem subsequência enumerável.

9.6 Espaços de Hausdorﬀ

Os espaços métricos possuem propriedades que nem sempre estão presentes nos espaços topológicos em geral. Uma dessas propriedades é a Proposição 1.6, que diz que dois pontos distintos podem ser separados por bolas disjuntas. Foi esta propriedade que nos permitiu mostrar que os subconjuntos compactos de $ℝ$ com sua topologia usual são fechados (Lema 9.16). Da mesma forma, a Proposição 1.6 pode ser usada para demonstrar que em um espaço métrico, os subconjuntos compactos são sempre fechados.

Deﬁnição 9.29 (Espaço de Hausdorﬀ). Um espaço (topológico) de Hausdorﬀ é um espaço topológico $X$ tal que para todos os elementos $a, b \in X$ distintos, existem $U \in 𝒱_{} (a)$ e $V \in 𝒱_{} (b)$ com $U \cap V = \emptyset$ . Também dizemos que $X$ é de Hausdorﬀ, ou simplesmente que $X$ é Hausdorﬀ.

A Deﬁnição 9.29 poderia ter sido feita com $U$ e $V$ abertos. A demonstração e o enunciado precisos deste fato ﬁcam como exercício.

O axioma da Deﬁnição 9.29 garante que de uma certa forma, dois pontos distintos $a$ e $b$ podem ser separados por vizinhanças. Esse tipo de axioma é chamado de axioma de separação. Veremos outros tipos de axioma de separação no Capítulo ??. Veja também o Exercício 9.6.1.

Os espaços métricos são espaços de Hausdorﬀ. Talvez por isso, os espaços que não são de Hausdorﬀ fujam um pouco à nossa intuição. Quando um espaço é de Hausdorﬀ, em certos casos podemos tratá-lo como se fosse um espaço métrico. Ao invés de dizermos

Tome $𝜀 > 0$ tal que $𝜀 < \frac{1}{2} d (a, b)$ .

podemos simplesmente dizer

Tome vizinhanças disjuntas de $a$ e $b$ .

Mesmo argumentos com espaços métricos ﬁcam mais elegantes se evitarmos escolher $𝜀$ para ao invés disso, utilizarmos a Proposição 1.6. Por outro lado, nem todos os espaços topológicos são de Hausdorﬀ. Ao identiﬁcarmos que um espaço não é de Hausdorﬀ, sabemos que existem certas propriedades que este espaço pode ter, mas que fogem à nossa intuição.

Exemplo 9.30. O conjunto dos números reais, com sua topologia usual, é um espaço de Hausdorﬀ. De fato, pela Proposição 1.6, qualquer espaço métrico é um espaço de Hausdorﬀ.

Exemplo 9.31 (Topologia caótica). Seja $X$ um conjunto com mais de um elemento. Então, dotado da topologia caótica $\{X, \emptyset\}$ , $X$ não é de Hausdorﬀ. Note que na topologia caótica, todos os subconjuntos de $X$ são compactos, mas os fechados são apenas $X$ e $\emptyset$ .

Exemplo 9.32 (Convergência pontual). Dados os conjuntos $X$ e o espaço topológico $Y$ , se $Y$ é de Hausdorﬀ, então, o conjunto das funções $f : X \to Y$ com a topologia da convergência pontual (Exemplo 7.32) é de Hausdorﬀ. Isso porquê, se duas funções $f$ e $g$ são distintas, então existe $x \in X$ tal que $f (x) \neq g (x)$ . Tome duas vizinhanças disjuntas $U$ e $V$ de $f (x)$ e $g (x)$ , e perceba que os conjuntos $π_{x}^{- 1} (U)$ e $π_{x}^{- 1} (V)$ são vizinhanças disjuntas de $f$ e $g$ .

Assim como no caso dos espaços métricos, os subconjuntos compactos de um espaço de Hausdorﬀ são sempre fechados.

Proposição 9.33. Se $X$ é um espaço de Hausdorﬀ, então todo subconjunto compacto é fechado. Se $X$ é compacto Hausdorﬀ, então, os subconjuntos de $X$ que são compactos são exatamente os subconjuntos fechados.

Demonstração. A demonstração da primeira parte é idêntica à demonstração do Lema 9.16. Suponha que $K \subset X$ é compacto. Tome $a \notin K$ . Vamos mostrar que $a \notin \bar{K}$ . Para cada $k \in K$ , existem vizinhanças abertas e disjuntas $U_{k}$ e $V_{k}$ de $k$ e $a$ . Note que

K \subset ⋃_{k \in K} U_{k}

é uma cobertura aberta de $K$ . Pela compacidade de $K$ , existem $k_{1}, \dots, k_{n}$ tais que,

K \subset U_{k_{1}} \cup \dots \cup U_{k_{n}} .

Faça $U = U_{k_{1}} \cup \dots \cup U_{k_{n}}$ e $V = V_{k_{1}} \cap \dots \cap V_{k_{n}}$ . Então, $V$ é uma vizinhança de $a$ , tal que

V \cap K \subset V \cap U = \emptyset .

E portanto, $a \notin \bar{K}$ . Assim, concluímos que $K$ é fechado.

A última aﬁrmação é evidente. □

9.6.1 Rigidez Compacto Hausdorﬀ

Se um espaço topológico $(X, τ_{X})$ for Hausdorﬀ, então qualquer topologia em $X$ que seja mais forte que $τ_{X}$ também será de Hausdorﬀ. Por outro lado, se o espaço é compacto, então continuará sendo compacto mesmo com uma topologia mais fraca. Assim, se $(X, τ_{X})$ é compacto Hausdorﬀ, então, não existe uma topologia $τ_{c} ⊊ τ_{X}$ que seja de Hausdorﬀ, pois tomando $A \in τ_{X} ∖ τ_{c}$ , teríamos um compacto $A c$ em $τ_{c}$ que não é fechado. E por outro lado, não existe uma topologia $τ_{h} ⊋ τ_{X}$ onde $X$ seja compacto, pois neste caso, tomando $A \in τ_{h} ∖ τ_{X}$ , teríamos um fechado $A c$ que não é compacto. Esta é a rigidez dos espaços que são compacto Hausdorﬀ.

Proposição 9.34. Seja $X$ um espaço topológico compacto, e $Y$ um espaço de Hausdorﬀ. Se $f : X \to Y$ é uma bijeção contínua, então $f$ é um homeomorﬁsmo.

Demonstração. É suﬁciente mostrar que $f$ é uma aplicação fechada. Seja $F \subset X$ um fechado. Pela compacidade de $X$ , $F$ é compacto. Por ser imagem de um compacto por uma aplicação contínua, $f (F)$ é um compacto de $Y$ . Mas como $Y$ é de Hausdorﬀ, $f (F)$ é fechado. □

Exemplo 9.35. Seja $X$ um espaço topológico compacto Hausdorﬀ, $Y$ um espaço topológico qualquer e $f : X \to Y$ uma aplicação qualquer. Considere o gráﬁco de $f$

Gr (f) = \{(x, f (x))| x \in X\} .

Então,

f é contínua \Leftrightarrow Gr (f) é compacto .

De fato, note que o gráﬁco de $f$ é a imagem da função

\begin{matrix} g : = (id, f) : & X & \to & X \times Y \\ x & \mapsto & (x, f (x)) \end{matrix} .

Se $f$ é contínua, $g$ é contínua, e a imagem do compacto $X$ por $g$ é um conjunto compacto.

Por outro lado, considere a projeção contínua de $X \times Y$ na primeira ( $π_{x}$ ) e na segunda ( $π_{y}$ ) coordenadas. Ambas são contínuas pela deﬁnição da topologia de $X \times Y$ . $π_{x} |_{Gr (f)} : Gr (f) \to X$ é uma bijeção contínua do compacto $X$ no espaço de Hausdorﬀ $Gr (f)$ . Pela Proposição 9.34, $π_{x}^{- 1}$ é contínua. Portanto, $f = π_{y} \circ π_{x}^{- 1}$ é contínua.

9.6.2 Unicidade da Convergência

Em um espaço topológico $X$ , pode acontecer de uma mesma sequência $x_{n}$ convergir para dois pontos de $X$ distintos. Nos espaços de Hausdorﬀ, isso não acontece. Apesar de a recíproca não ser verdadeira, ou seja, existirem espaços que não são de Hausdorﬀ, mas que os limites das sequências convergentes são únicos, veremos que ao substituir sequências por redes, no Capítulo ??, os espaços de Hausdorﬀ são exatamente aqueles que os limites das redes convergêntes são únicos.

Proposição 9.36. Seja $X$ um espaço de Hausdorﬀ, e $x_{n} \in X$ uma sequência tal que $x_{n} \to x \in X$ e $x_{n} \to y \in X$ . Então, $x = y$ .

Demonstração. Se $x \neq y$ , então existem vizinhanças de $x$ e $y$ disjuntas, $U$ e $V$ . Como $x_{n} \to x$ , temos que a partir de um certo $N$ , todos os $x_{n}$ estão em $U$ . Mas nenhum deles pode estar em $V$ , pois $U$ e $V$ são disjuntos. Isso contraria o fato de $x_{n}$ convergir para $y$ . □

A seguir, um exemplo de um espaço que não é de Hausdorﬀ, mas que os limites de todas as sequências são únicos.

Exemplo 9.37 (Topologia coenumerável). Seja $X$ um conjunto não enumerável, e $τ$ a topologia coenumerável. Ou seja,

τ = \{A \subset X| A c é enumerável\} \cup \{\emptyset\} .

As sequências convergentes de $X$ , são aquelas que a partir de um certo $N$ se tornam constantes. Evidentemente que uma tal sequência não pode ter dois limites distintos. No entanto, como $X$ não é enumerável, dois abertos de $X$ nunca são disjuntos.

9.6.3 Exercícios

9.6.1. Se $X$ é um espaço de Hausdorﬀ e $x \in X$ , então o conjunto $\{x\}$ é fechado.

9.6.2. Dê um exemplo de um espaço topológico $X$ onde haja um $x \in X$ tal que $\{x\}$ não é fechado.

9.6.3. Se $X$ é Hausdorﬀ e $x \in X$ , então

\{x\} = ⋂ 𝒱_{} (x) .

9.6.4. Se $X$ é Hausdorﬀ e todo $x \in X$ tem base ﬁnita, então, $X$ é discreto.

9.6.5. Se $X$ é Hausdorﬀ e $x \in X$ , então

\{x\} = ⋂_{V \in 𝒱_{} (x)} \bar{V} .

9.6.6. Dê uma deﬁnição para espaços de Hausdorﬀ, alternativa à Deﬁnição 9.29, mas que utilize abertos ao invés de vizinhanças. Demonstre que as duas deﬁnições são equivalentes.

9.6.7. Use a Proposição 9.34 para mostrar que se $τ_{h} \subset τ_{c}$ são topologias em $X$ , com $τ_{h}$ Hausdorﬀ e $τ_{c}$ compacta, então $τ_{h} = τ_{c}$ .

9.6.8. Considere o espaço $X = {[0, 1]}^{ℕ}$ com a métrica

d (x, y) = sup_{n \in ℕ} |y_{n} - x_{n}| .

Mostre que esse espaço não é compacto.

9.6.9. Em um espaço topológico $X$ , dado $x \in X$ , $\{x\}$ é fechado se, e somente se, para todo $y \in X$ diferente de $x$ existe $V \in 𝒱_{} (y)$ tal que $x \notin V$ .

9.6.10. Dê um exemplo de um espaço topológico $X$ onde existem dois pontos $x, y \in X$ tais que

x_{n} \to x \Rightarrow x_{n} \to y,

mas que $x_{n} \to y$ não implica que $x_{n} \to x$ .

9.7 Compacidade com Sub-Bases

É bastante claro que, ao veriﬁcarmos a compacidade de um espaço, é suﬁciente veriﬁcarmos as coberturas formadas por elementos de uma base ﬁxada. Isso porque, toda cobertura de abertos $𝒰$ pode ser “reﬁnada” por uma cobertura formada apenas por elementos da base da topologia (veja a Proposição 9.11). É um fato surpreendente (ao menos para o autor), que para veriﬁcar a compacidade de um espaço, é suﬁciente veriﬁcar a existência de subcoberturas ﬁnitas para coberturas formadas por elementos de uma sub-base. Este é o conteúdo do teorema a seguir. Vamos demonstrar de duas formas. A primeira utiliza indução transﬁnita e o Princípio da Boa Ordenação. A segunda demonstração utiliza o Lema de Zorn. Antes, vamos precisar de um Lema. Material sobre esses assuntos pode ser encontrado no Apêndice ??.

Lema 9.38. Seja $𝒮$ uma sub-base para a topologia de $X$ , e seja $ℬ$ a base gerada por $𝒮$ . Se $𝒱 \subset ℬ$ é uma cobertura sem subcobertura ﬁnita, e $\emptyset \neq V \in 𝒱$ , então, podemos adicionar a $𝒱$ , um conjunto $S_{V} \in 𝒮$ com $S_{V} \supset V$ , de modo que a família

𝒱^{'} = 𝒱 \cup \{S_{V}\}

também não possui subcobertura ﬁnita.

Demonstração. Sabemos que $V \neq X$ . Escreva $V = V_{1} \cap \dots \cap V_{n}$ , com $V_{j} \in 𝒮$ . Para $j = 1, \dots, n$ , faça

𝒱_{j} = 𝒱 \cup \{V_{j}\} .

Se todas as coberturas $𝒱_{j}$ tivessem subcobertura ﬁnita, $𝒱$ também teria (por quê?). Portanto, fazendo $S_{V} = V_{j}$ para algum $j$ tal que $𝒱_{j}$ não tem subcobertura ﬁnita, temos a família $𝒱^{'}$ satisfazendo a condição desejada. □

Teorema 9.39 (Teorema de Sub-Base de Alexander). Seja $𝒮$ uma sub-base para a topologia do espaço $X$ . Então, $X$ é compacto se, e somente se, toda cobertura $𝒰 \subset 𝒮$ possuir uma subcobertura ﬁnita.

(Demonstração utilizando o princípio da boa ordenação). É evidente que a condição é necessária. Vamos mostrar que se um espaço não é compacto, então existe uma cobertura formada por elementos da sub-base, mas que não possui subcobertura ﬁnita. Fica como exercício mostrar que se $𝒮$ não cobre $X$ , então $X$ é compacto. Portanto, podemos assumir que $𝒮$ cobre $X$ . Seja $ℬ$ a base gerada por $𝒮$ . Como $X$ não é compacto, existe uma família $𝒰^{'} \subset ℬ$ que cobre $X$ e que não possui subcobertura ﬁnita.

Seja $≺$ uma boa ordem em $𝒰^{'}$ . Vamos utilizar a seguinte notação. Deﬁna

𝒰_{U}^{*} = \{S_{W}| W  U\} \cup 𝒰^{'}

𝒰_{U} = \{S_{W}| W ≺ U\} \cup 𝒰^{'} .

Deﬁnidos $S_{W} \in 𝒮$ para todo $W  U$ tal que $𝒰_{W}$ não possui subcobertura ﬁnita, então $𝒰_{U}^{*}$ também não tem subcobertura ﬁnita. De fato, se $U$ é o primeiro elemento de $𝒰$ , $𝒰_{U}^{*} = 𝒰$ não tem subcobertura ﬁnita por hipótese. Caso contrário, uma subcobertura ﬁnita de $𝒰_{U}^{*}$ estaria toda contida em $𝒰_{W}$ para algum $W < U$ , mas $𝒰_{W}$ não tem subcobertura ﬁnita.

O Lema 9.38 implica que existe $S_{U} \in 𝒮$ , com $S_{U} \supset U$ , tal que $𝒰_{U}$ é uma cobertura sem subcobertura ﬁnita. Por indução transﬁnita, para todo $U \in 𝒰^{'}$ , $𝒰_{U}$ é uma cobertura sem subcobertura ﬁnita. Mas isso implica que $𝒰 = \{S_{U}| U \in 𝒰^{'}\}$ é uma cobertura, pois $S_{U} \supset U$ , mas sem subcobertura ﬁnita. De fato, se $𝒰$ tivesse subcobertura ﬁnita $S_{1}, \dots, S_{n}$ , então existiria $U \in 𝒰^{'}$ tal que $S_{1}, \dots, S_{n} \in 𝒰_{U}$ , contrariando o fato de $𝒰_{U}$ não possuir subcobertura ﬁnita. Como $𝒰 \subset 𝒮$ , a proposição ﬁca demonstrada. □

Vamos demonstrar o mesmo fato usando o Lema de Zorn. É um bom exercício comparar as duas demonstrações.

(Demonstração utilizando o lema de Zorn). Denotando por $ℬ$ a base gerada por $𝒮$ , basta mostrar que quando $X$ não é compacto, existe uma cobertura $𝒰 \subset 𝒮$ sem subcobertura ﬁnita. O conjunto $Γ$ das subfamílias de $ℬ$ sem subcobertura ﬁnita não é vazio, pois $X$ não é compacto. Ordenando as subfamílias de $ℬ$ por inclusão, se $𝒰_{λ} \in Γ$ ( $λ \in Λ$ ) é uma cadeia de subcoberturas sem subcobertura ﬁnita, então, utilizando o mesmo argumento da demonstração por indução transﬁnita, concluímos que

𝒰^{*} = ⋃_{λ \in Λ} 𝒰_{λ}

é uma cobertura sem subcobertura ﬁnita, pois se $𝒰^{*}$ tivesse subcobertura ﬁnita, essa subcobertura estaria contida em $𝒰_{λ}$ para algum $λ \in Λ$ . Assim, $Γ$ é indutivamente ordenado, e por isso possui um elemento maximal $𝒰_{m}$ .

Pelo Lema 9.38, assim como na demonstração utilizando indução transﬁnita, vemos que se $U = U_{1} \cap \dots \cap U_{n} \in 𝒰_{m}$ , com $U_{j} \in 𝒮$ , então existe $S_{U} \in 𝒰^{'}$ , com $S_{U} \supset U$ , tal que $𝒰_{m} \cup \{S_{U}\}$ não possui subcobertura ﬁnita. Pela maximalidade de $𝒰_{m}$ , temos que $S_{U} \in 𝒰_{m}$ . Mas isso implica que $𝒰 = 𝒰_{m} \cap 𝒮$ cobre $X$ (por quê?). E como $𝒰_{m}$ não tem subcobertura ﬁnita, $𝒰 \subset 𝒰_{m}$ também não tem, concluindo a demonstração. □

Um exemplo interessante de aplicação do Teorema de Alexander é a compacidade dos intervalos $[a, b] \subset ℝ$ .

Exemplo 9.40 (Compacidade com sub-base em $ℝ$ ). Uma sub-base para a topologia usual de $ℝ$ é a família

𝒮 = \{(- \infty, x)| x \in ℝ\} \cup \{(x, \infty)| x \in ℝ\} .

Suponha que $𝒰 \subset 𝒮$ seja uma cobertura de $[a, b]$ . Se os conjuntos da forma $(- \infty, x)$ de $𝒰$ cobrem $[a, b]$ , então existe $x > b$ , com $(- \infty, x) \in 𝒰$ . O mesmo argumento vale se os conjuntos da forma $(x, \infty)$ de $𝒰$ cobrirem $[a, b]$ . Caso contrário, tomando como $B$ o supremo dos $x \in ℝ$ tais que $(- \infty, x) \in 𝒰$ , e $A$ o ínﬁmo dos $x \in ℝ$ tais que $(x, \infty) \in 𝒰$ , é fácil ver que $A < B$ . Ou seja, existem $α, β \in ℝ$ , com $A < α < β < B$ tais que $(- \infty, β), (α, \infty) \in 𝒰$ . Assim,

[a, b] \subset ℝ = (- \infty, β) \cup (α, \infty) .

Pelo Teorema 9.39, $[a, b]$ é compacto.

9.7.1 Exercícios

9.7.1. Na demonstração do Lema 9.38, como sabemos que $V \neq X$ ?

9.7.2. Por que nos preocupamos em observar que $V \neq X$ na demonstração do Lema 9.38?

9.7.3. Mostre que na demonstração do Lema 9.38, se todas as famílias $𝒱_{j}$ tivessem subcobertura ﬁnita, então $𝒱$ também teria.

9.7.4. O que daria errado na demonstração do Exemplo 9.40 se substituíssemos $[a, b]$ por $[a, b)$ ?

9.8 Produto de Compactos

Como prometido, vamos mostrar que o produto de espaços compactos é compacto na topologia produto. Mesmo que seja o produto de inﬁnitos, e até mesmo incontáveis espaços.

Teorema 9.41. Seja $X_{λ}$ ( $λ \in Λ$ ) uma família qualquer de espaços topológicos. Neste caso, o espaço

X = \prod_{λ \in Λ} X_{λ}

é compacto na topologia produto se, e somente se, todos os $X_{λ}$ forem compactos.

Demonstração. Se $X$ é compacto, então, como cada $X_{λ}$ é a imagem do compacto $X$ pela projeção contínua $π_{λ}$ , $X_{λ}$ é compacto. Vamos utilizar o Teorema de Sub-Base de Alexander (Teorema 9.39) para mostrar a implicação inversa. Suponha que cada $X_{λ}$ é compacto. Seja

𝒮_{λ} = \{π_{λ}^{- 1} (U)| U \in τ_{λ}\} .

A topologia produto é gerada pela família

𝒮 = ⋃_{λ \in Λ} 𝒮_{λ} .

Seja $𝒰 \subset 𝒮$ uma cobertura de $X$ . Se nenhuma das subfamílias $𝒰_{λ} = 𝒰 \cap 𝒮_{λ}$ cobrir $X$ , então podemos escolher para cada $λ$ , $x_{λ} \in X_{λ}$ tal que $π_{λ}^{- 1} (x_{λ})$ não é coberto por $𝒰_{λ}$ . Assim, o conjunto

Y = ⋂_{λ \in Λ} π_{λ}^{- 1} (x_{λ})

contém o elemento ${(x_{λ})}_{λ \in Λ}$ , mas não intersecta nenhum elemento de $𝒰_{λ}$ , para nenhum $λ \in Λ$ . Ou seja, $Y$ não intersecta nenhum elemento de $𝒰$ . E isso contraria o fato de $𝒰$ ser uma cobertura de $X$ . Portanto, existe um $λ$ tal que $𝒰_{λ}$ cobre $X$ . Pela compacidade de $X_{λ}$ , existe uma subfamília ﬁnita $π_{λ}^{- 1} (U_{1}), \dots, π_{λ}^{- 1} (U_{n}) \in 𝒰_{λ}$ , tal que $U_{1}, \dots, U_{n}$ cobre $X_{λ}$ (por quê?). Ou seja, esta família cobre $X$ . Pelo Teorema 9.39, $X$ é compacto. □

Exemplo 9.42 (Representação binária). Na topologia produto, o espaço ${\{0, 1\}}^{ℕ}$ é compacto. Pelo Exemplo 7.31, o conjunto $[0, 1]$ , como imagem da representação binária (ou decimal) por uma aplicação contínua, também é compacto.

Exemplo 9.43 (Convergência ponto a ponto). Considere o conjunto das funções $f : X \to [- M, M]$ , para algum $M \in ℝ$ ﬁxado. Na topologia da convergência ponto a ponto, ou seja, na topologia produto, quando identiﬁcamos com ${[- M, M]}^{X}$ , o espaço das funções é compacto.

Mais a frente, veremos que o famoso Teorema de Banach-Alaoglu, estudado em análise funcional, consiste em identiﬁcar o espaço estudado com um subconjunto fechado do espaço compacto deste exemplo.

9.8.1 Exercícios

9.8.1. Use um argumento com compacidade para mostrar que a topologia produto em ${\{0, 1\}}^{ℕ}$ não é discreta.

Capítulo 9Compacidade