Capítulo 9
Compacidade

No Capítulo 8, vimos que conexidade é uma propriedade preservada pelas aplicações contínuas. Assim sabemos, por exemplo, que a imagem de um intervalo por uma aplicação contínua f : é também um intervalo. Neste capítulo, vamos estudar compacidade, uma propriedade que também é preservada por aplicações contínuas.

9.1 Definição e Exemplos

Antes de mais nada, precisamos definir o conceito de cobertura e subcobertura.

Definição 9.1 (Cobertura). Em um espaço topológico X,τX, dado um conjunto A X, uma cobertura (de abertos) de A é uma família 𝒰 τX, tal que

A U𝒰U.

Uma subcobertura de 𝒰 é uma subfamília 𝒱𝒰que também é uma cobertura de A. Também dizemos que 𝒰 cobre A.

Muitas vezes, utilizamos a expressão cobertura de A para designarmos uma família qualquer de subconjuntos de X cuja união contenha A. Neste livro, utilizaremos o adjetivo aberta ou a locução de abertos apenas quando não for claro pelo contexto se a cobertura é formada por conjuntos abertos ou não. Para uma cobertura que não é formada necessariamente por abertos, diremos “uma cobertura não necessariamente aberta”.

Definição 9.2 (Compacidade). Seja X um espaço topológico. Dizemos que K Xé compacto, quando toda cobertura aberta de K admitir uma subcobertura finita. Se X for compacto, então dizemos que X é um espaço topológico compacto.

Note que K X será compacto se for um espaço topológico compacto quando dotado da topologia induzida.

Vejamos alguns exemplos. Primeiro, um exemplo de um conjunto que não é compacto.

Exemplo 9.3 (O intervalo (0,1)). Considere a cobertura de (0,1) dada por

𝒰 = 1 k,1 k = 1,2,.

É evidente que tal cobertura não possui subcobertura finita. Portanto, o espaço (0,1), com sua topologia usual, não é compacto.

Exemplo 9.4 (Conjunto Finito). Seja X um conjunto finito. Então, X será compacto em qualquer topologia. De fato, todas as coberturas serão finitas. A imagem de X por uma aplicação qualquer f : X Y será sempre finita.

A compacidade é uma propriedade que de certa forma generaliza o Exemplo 9.4.

Exemplo 9.5 (Topologia Discreta). Na topologia discreta, os únicos compactos são os conjuntos finitos. Isso porque qualquer conjunto A é escrito como

A = xAx.

E a cobertura x x A não possui subcobertura.

Exemplo 9.6 (Topologia Caótica). Seja X um espaço topológico com a topologia τX = ,X. Então, qualquer subconjunto de X é compacto. De fato, basta que τX seja uma família finita para que o argumento funcione.

Exemplo 9.7 (Conjunto Ilimitado). Seja X um espaço métrico. Se X é ilimitado, então X não é compacto. De fato, dado a X,

X = nBn(a)

é uma cobertura sem subcobertura finita. Assim, todo subconjunto compacto de um espaço métrico é limitado. Em particular, n — ou qualquer subconjunto ilimitado de n — não é compacto na topologia usual.

9.1.1 Exercícios

9.1.1. Seja K um conjunto compacto e F K um conjunto fechado. Mostre que F é compacto.

9.1.2. Seja K um conjunto compacto e f uma aplicação contínua. Mostre que f(K) é compacto.

9.1.3. Seja uma base para a topologia de X. Mostre que se toda cobertura de K X formada apenas por elementos em tiver subcobertura finita, então K é compacto.

9.1.4. Mostre que se K1,,Kn X são compactos, então K = K1 Kn também é compacto.

9.1.5. Considere K Y X, onde X,τX é um espaço topológico. Mostre que K é compacto na topologia τX se, e somente se K é compacto na topologia induzida Y τX.

9.1.6. Mostre que um subconjunto K de um espaço topológico X é compacto se, e somente se, K é um espaço topológico compacto na topologia induzida de X.

9.2 Propriedades Elementares

Vamos estabelecer algumas propriedades elementares e algumas caracterizações de compacidade. A mais importante dessas propriedades é o fato de a imagem de um compacto por uma aplicação contínua também ser um conjunto compacto. A mais simples é o fato de todo fechado dentro de um compacto ser compacto.

Proposição 9.8. Se K X é compacto e F K é fechado, então F é compacto.

Demonstração. Seja 𝒰 uma cobertura de F. Então, 𝒱 = 𝒰Fc é uma cobertura de K. Pela compacidade de K, existe uma subcobertura 𝒱𝒱 finita. Neste caso, 𝒰 = 𝒱Fc é uma subfamília finita de 𝒰, e cobre F. □

Proposição 9.9. Sejam X e Y espaços topológicos, K X um compacto e f : X Y uma aplicação contínua. Então, f(K) é um compacto de Y .

Demonstração. Seja 𝒰 uma cobertura aberta de f(K), então, f1(𝒰) é uma cobertura aberta de K. Pela compacidade de K, existe uma subfamília finita 𝒱𝒰 tal que f1(𝒱) cobre K. Mas isso implica que 𝒱 cobre f(K). Ou seja, f(K) é compacto. □

Exemplo 9.10. Seja Xλ ( λ Λ) uma família de espaços topológicos não vazios. Então,

X = λΛXλ,

com a topologia produto, só pode ser compacto se todos os Xλ forem compactos. De fato, se X é compacto, como as projeções canônicas πλ : X Xλ são contínuas e sobrejetivas, os espaços Xλ = πλ(X) são todos compactos. O Teorema 9.41, mais adiante, mostrará que vale a recíproca: se todos os Xλ forem compactos, então X é compacto.

Para verificarmos se um espaço topológico é ou não compacto, a princípio, precisamos verificar que toda cobertura por abertos possui uma subcobertura finita. No entanto, de posse de uma base da topologia, a verificação pode ser restrita a subcoberturas desta base.

Proposição 9.11. Seja uma base de um espaço topológico X. Então, X é compacto se, e somente se, toda cobertura 𝒰 possuir subcobertura finita.

Demonstração. É evidente que a condição é necessária. Vamos mostrar que é suficiente. Seja 𝒱 uma cobertura de abertos de X. Cada aberto V 𝒱 pode ser escrito da forma

V = U𝒰V U,

para uma família 𝒰V adequada. Por hipótese,

𝒰 = V 𝒱𝒰V

possui uma subcobertura finita. Em particular, existem V 1,,V n 𝒱 tais que a família 𝒰V 1 𝒰V n cobre X. Ou seja, V 1,,V n é uma subcobertura finita de 𝒱. □

Vamos ao exemplo mais importante de conjunto compacto.

Exemplo 9.12 (Intervalo Fechado Limitado em n). O conjunto I = [a,b] é compacto na topologia usual induzida de . Vamos usar a Proposição 9.11. Primeiramente, note que a família de todos os intervalos abertos forma uma base para a topologia de I. Lembre-se que intervalos da forma [a,c) e (c,b] são abertos na topologia de I.

Seja 𝒰 uma cobertura de I formada por intervalos abertos. Seja J I o conjunto de todos os elementos c I tais que [a,c] possui uma subcobertura finita de 𝒰. É claro que a J.

Note que para cada V 𝒰,

V J V J.

Mas isso implica que tanto J quanto I J são abertos. Pela conexidade de I, temos que J = I.

Em um espaço com base enumerável, podemos caracterizar compacidade em termos de sequências de abertos.

Corolário 9.13. Um espaço topológico X com base enumerável é compacto se, e somente se, para toda sequência crescente de abertos A1 A2 tal que

n=1A n = X,

existir N tal que AN = X.

Demonstração. Tal sequência An é uma cobertura de X. Se X é compacto, existe uma subcobertura finita An1,,Ank. Basta tomar N = max n1,,nk, para ter AN = X.

Por outro lado, se é uma base enumerável, e se X não é compacto, existe uma subfamília B1,B2, que cobre X, mas que não possui subcobertura finita. Fazendo An = B1 Bn, temos uma sequência crescente de abertos A1 A2 tal que sua união é X, mas todos os An são diferentes de X. □

Proposição 9.14. Sejam X1,,Xn espaços topológicos compactos não vazios. Então, com a topologia produto, o espaço X = X1 × × Xn é compacto.

Demonstração. Basta mostrar para o caso n = 2. Seja 𝒰 uma cobertura aberta de X. Pela Proposição 9.11, podemos assumir que os abertos em 𝒰 são da forma U × V , com U e V abertos de X1 e X2, respectivamente.

Para cada a X1, o subespaço a × X2 é compacto (veja a Proposição 7.30). Assim, existe uma subfamília 𝒰a 𝒰 que cobre a × X2. Note que 𝒰a é da forma

𝒰a = U1 × V 1,,Um × V m.

Em particular, fazendo Ua = U1 Um, temos que Ua X1 é aberto e 𝒰a cobre Ua × X2.

Como os conjuntos da forma Ua cobrem X1, e X1 é compacto, existem a1,,ak X1 tais que X1 = Ua1 Uak. Ou seja,

𝒰 = 𝒰 a1 𝒰ak

é uma subfamília finita de 𝒰 que cobre X. □

Como os conjuntos fechados são exatamente os complementares dos abertos, a compacidade pode ser facilmente descrita em termos de conjuntos fechados.

Proposição 9.15. Um espaço topológico é compacto se, e somente se, toda família de fechados , com

FF

para toda subfamília finita , for tal que

FF.

Se o espaço tiver base enumerável, então, toda sequência decrescente de fechados não vazios F1 F2 for tal que

n=1F n.

Demonstração. A primeira parte é a definição de compacidade escrita em termos de conjuntos fechados. A segunda parte é o Corolário 9.13. □

9.2.1 Exercícios

9.2.1. De um exemplo de uma aplicação contínua f : (0,1) ilimitada.

9.2.2. Pode existir uma aplicação contínua f : [0,1] e uma sequência xn [0,1] tal que f(xn) ?

9.2.3. Por que na demonstração da Proposição 9.11 podemos afirmar que existem V 1,,V n 𝒱 tais que a família 𝒰V 1 𝒰V n cobre X.

9.2.4. Por que na demonstração da Proposição 9.14 dizemos que basta mostrar para o caso n = 2?

9.3 Compacidade nos Reais

Já vimos que os compactos de , em sua topologia usual, são limitados. Vamos mostrar que são fechados.

Lema 9.16. Um subconjunto compacto K , quando é dotado de sua topologia usual, é um fechado.

Demonstração. Suponha que K não é fechado. Então, podemos escolher x K¯ K. Para todo k K, tome uma vizinhança aberta de k, V k, e uma vizinhança aberta de x, Uk, tais que Uk V k = . Como k Uk, é evidente que

K kKUk.

Por outro lado, escolhendo k1,,kn K, e fazendo U = Uk1 Ukn, temos que V = V k1 V kn é uma vizinhança de x, com U V = . Mas como k K¯, temos que K V . E portanto, KU. Ou seja, a cobertura Uk k K não possui subcobertura finita. □

Assim, os compactos de , em sua topologia usual, são fechados e limitados. Vamos mostrar que essa propriedade caracteriza os compactos de .

Proposição 9.17. Quando é munido de sua topologia usual, um subconjunto K é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.

Demonstração. Pelo Exemplo 9.7 e pelo Lema 9.16, se K é compacto, então, é fechado e limitado. Por outro lado, se K é fechado e limitado, então, existe M tal que K [M,M], e este último é compacto pelo Exemplo 9.12. Assim, a Proposição 9.8 garante que K é compacto. □

A proposição a seguir é de extrema importância e é muito utilizada.

Proposição 9.18. Seja f : X uma função contínua definida num compacto X. Então, existe x X tal que f(x) = supf(X).

Demonstração. Sabemos que f(X) é um compacto de . Se não existir um tal x X, então,

f(X) (,supf(X)) = n=1,supf(X) 1 n.

Pela compacidade de f(X), existe n tal que

f(X) ,supf(X) 1 n,

o que, pela definição de supf(X), é impossível. □

Outras propriedades importantes da topologia usual dos números reais são na verdade propriedades gerais dos espaços métricos e serão vistas em breve.

9.3.1 Exercícios

9.3.1. Se f : é contínua, pode existir um conjunto limitado M tal que f(M) é ilimitado? Justifique ou dê um exemplo.

9.3.2. Seja

f :(0,1) x 1 x .

Existe g : contínua tal que f = g|(0,1)?

9.3.3. Considere o conunto dos racionais com a topologia induzida dos reais. O que você pode dizer sobre os subconjuntos compactos de ?

9.3.4. Descubra o que é um Espaço de Hausdorff e mostre, como no Lema 9.16, que nos Espaços de Hausdorff os conjuntos compactos são fechados.

9.3.5. Considere com a topologia τ = (,a) a , . Quais são os conjuntos compactos?

9.3.6. Considere a topologia em dada pelo Exercício 9.3.5. Mostre que uma função f : X definida em um espaço topológico compacto X não vazio sempre atinge o máximo, mas pode não atingir o mínimo.

9.3.7. Considere com a topologia τ gerada pela família [a,b) a,b . Quando é que xn τx nessa topologia? (Usualmente denotamos essa convergência por xn x+.)

9.3.8. Mostre que a topologia τ do Exercício 9.3.7 é mais forte que a topologia usual dos reais.

9.4 Compacidade em n

Assim como no caso dos reais, se n é dotado da topologia produto (sua topologia usual), K n é compacto se, e somente se, é fechado e limitado. Se usarmos a compacidade de [M,M]n no lugar da compacidade de [M,M], a demonstração é exatamente a mesma.

Teorema 9.19. Quando n é munido de sua topologia usual, um subconjunto K n é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.

Demonstração. Faça exatamente como na Proposição 9.17, usando a compacidade de [M,M]n no lugar da compacidade de [M,M]. A compacidade de [M,M]n é consequência da Proposição 9.14. □

Outras propriedades que vamos investigar referentes a compacidade em n, são na verdade propriedades gerais dos espaços métricos. Sendo assim, vamos encerrar esta seção e dar prossegimento ao estudo da compacidade em espaços métricos.

9.4.1 Exercícios

9.4.1. Mostre que se K 2 é um compacto na topologia usual, então existem K1,K2 , compactos na topologia usual tais que K K1 × K2.

9.4.2. Na topologia usual, existe algum aberto de Rn que seja compacto?

9.5 Compacidade em Espaços Métricos

A topologia dos espaços métricos pode ser descrita em termos de convergência de sequências. Dois conceitos simplificam o elo entre compacidade e convergência de sequências: completude e limitação total.

Definição 9.20 (Sequência de Cauchy e Completude). Em um espaço métrico (X,d), dizemos que uma sequência xn X é uma sequência de Cauchy quando para todo 𝜀 > 0 existir N tal que

m,n N d(xn,xm) 𝜀.

Dizemos que X é completo quando toda sequência de Cauchy xn convergir para algum x X.

Sequências convergentes são sempre de Cauchy. Assim, um espaço métrico é completo quando as sequências forem convergentes se, e somente se, forem de Cauchy. De certa forma, as sequências de Cauchy podem ser entendidas como sequências que “deveriam convergir”, e que se não convergem, é porque em um certo sentido o suposto ponto de convergência está faltando. Ou seja, se a sequência de Cauchy não converge é porque o espaço é incompleto.

Exemplo 9.21. Com a métrica usual, conjunto (0,1] não é completo. O ponto que “falta” seria justamente o 0.

Não vamos discutir propriedades dos espaços métricos além do necessário para discutir questões topológicas. A completude de um espaço topológico não é uma propriedade topológica. Duas métricas d e r em um mesmo conjunto X podem ser compatíveis (induzem a mesma topologia) e serem tais que (X,d) é completo, (X,r) é incompleto.

Exemplo 9.22. O conjunto (0,1] é homeomorfo a [1,). Ou seja, podemos colocar em (0,1] a métrica Euclideana, e obtermos um espaço incompleto, mas também podemos transportar para (0,1], através do homeomorfismo x1 x, a métrica Euclideana de [1,). Em outras palavras, (0,1] é completo com a métrica

d(x,y) = 1 y 1 x.

Em nossa discussão sobre compacidade, a propriedade mas importante das sequências de Cauchy é dada pelo seguinte Lema.

Lema 9.23. Seja (X,d) um espaço métrico. E seja xn uma sequência de Cauchy tal que existe uma subsequência xnk que converge para x. Então, xn converge para x.

Demonstração. Seja 𝜀 > 0. Então, existe N tal que

n,m N d(xn,xm) < 𝜀 2,

e nk N tal que d(xnk,x) < 𝜀 2. Assim, substituindo m por nk, temos que

n N d(xn,x) d(xnk,x) + d(xn,xnk) < 𝜀 2 + 𝜀 2 = 𝜀.

Definição 9.24 (Limitação Total). Um espaço métrico (X,d) é totalmente limitado quando, dado 𝜀 > 0, existirem finitas bolas B𝜀(x1),,B𝜀(xn) com

X = j=1nB 𝜀(xj).

Dizer que um espaço métrico é totalmente limitado, é o mesmo que dizer que toda sequência possui uma subsequência de Cauchy.

Lema 9.25. Um espaço métrico (X,d) é totalmente limitado se, e somente se, toda sequência possuir uma subsequência de Cauchy.

Demonstração. Suponha que X seja totalmente limitado. Para uma sequência arbitrária xn, vamos escolher uma subsequência de Cauchy. Faça X0 = X. Para cada k = 1,2,, Xk1 pode ser coberto por uma quantidade finita de bolas de raio 1 k. Seja Bk a bola tal que Xk1 Bk contém infinitos termos da sequência original. Faça Xk = Xk1 Bk, e escolha nk (maior que nk1) tal que xnk Xk. Esta é uma subsequência de Cauchy. De fato, para k,j N, como Xk e Xj tem diâmetro menor ou igual a 1 N, temos que

d(xnk,xnj) 2 N.

Por outro lado, se X não é totalmente limitado, então, existe 𝜀 > 0 tal que nenhuma cobertura de X por bolas de raio 𝜀 é finita. Sendo assim, escolha x1 X, e escolhido xn, escolha

xn+1 X j=1nB 𝜀(xj).

Para esta sequência, quando jk, d(xj,xk) 𝜀. Para esta sequência, nenhuma subsequência é de Cauchy. □

Um fato simples sobre espaços (métricos) totalmente limitados é que eles possuem uma base enumerável.

Lema 9.26. Todo espaço métrico (X,d) totalmente limitado possui uma base enumerável.

Demonstração. Pela Proposição 5.26, basta mostrar que existe um subconjunto enumerável denso. Para cada n , existe um conjunto finito Sn X tal que

X = xSnB1 n (x).

Neste caso,

S = n=1S n

é um enumerável denso. De fato, se A X é aberto, então A contém uma bola B1 n (a). Pela definição de Sn, existe s Sn tal que a B1 n (s). Mas isso significa que s B1 n (a) A. □

Em espaços com base enumerável, a compacidade é mais fácil de ser caracterizada.

Lema 9.27. Se X é um espaço topológico com uma base enumerável, então, são equivalentes:

  1. X não é compacto.
  2. Existe uma cobertura aberta enumerável de X sem subcobertura finita.
  3. Existe uma sequência de abertos
    U1 U2 ,

    com X = n=1Un.

Demonstração. _ (3 ) (2 ) (1 )

Estas implicações são evidentes.

_ (1 ) (3 )

Este é o conteúdo do Corolário 9.13. □

Agora podemos caracterizar os espaços métricos compactos em termos de convergência de sequências. Note que os lemas anteriores implicam que um espaço métrico é completo e totalmente limitado se, e somente se, toda sequência possuir uma subsequência convergente.

Proposição 9.28. Seja (X,d) um espaço métrico. Então, as seguintes afirmações são equivalentes.

  1. X é compacto.
  2. Toda sequência xn X tem uma subsequência convergente.
  3. X é completo e totalmente limitado.

Demonstração. Já vimos que os itens (2) e (3) são equivalentes, mas mesmo assim, vamos formalizar aqui a demonstração.

_ (2 ) (3 )

Se xn é uma sequência, e X é totalmente limitado, então, pelo Lema 9.25, xn possui uma subsequência de Cauchy. Mas se X também é completo, essa subsequência é convergente.

Por outro lado, se X não é completo, então, existe uma sequência de Cauchy xn que não converge. Pelo Lema 9.23, xn não possui subsequência convergente. E se X não é totalmente limitado, o Lema 9.25 implica que existe uma sequência xn sem subsequência de Cauchy. Em particular, xn não possui subsequência convergente, já que toda sequência convergente é de Cauchy.

_ (1 ) (2 )

Suponha que X é compacto. Seja

FN = xn n N¯.

Os conjuntos FN formam uma sequência decrescente de fechados não vazios. Pela compacidade de X, sabemos que o limite F = N=1FN não pode ser vazio. Portanto, existe x F. Agora, para cada k = 1,2,, escolha nk tal que xnk B1 k (x). Então, a sequência xnk é uma subsequência de xn que converge para x.

_ (2 ) e (3 ) (1 )

Se X é totalmente limitado, então, pelo Lema 9.26, X tem base enumerável. Neste caso, se X não é compacto, pelo Lema 9.27, existe uma sequência de abertos U1 U2 , tais que X = n=1Un.

Escolha xn Un+1 Un. Para qualquer x X, existe N tal que x UN. Portanto, para n N, xnUN. Ou seja, nenhuma subsequência de xn pode convergir para x. Como x X é arbitrário, nenhuma subsequência de xn converge. □

9.5.1 Exercícios

9.5.1. Em um espaço métrico, toda sequência convergente é de Cauchy.

9.5.2. Mostre que

d1(x,y) = y x e d2(x,y) = 1 y 1 x

induzem a mesma topologia em (0,1].

9.5.3. O que está errado na seguinte frase?

Seja X um espaço topológico completo?

9.5.4. Sejam Sn os conjuntos do Lema 9.26. Considere as famílias

𝒮n = B1 n (x) x Sn.

Mostre que de fato,

𝒮 = n=1𝒮 n

é uma base da topologia.

9.5.5. Na demonstração da Proposição 9.28, usamos o seguinte passo:

Agora, para cada k = 1,2,, escolha nk tal que xnk B1 k (x).

Por que sabemos que existe tal k?

9.5.6. Na demonstração da Proposição 9.28, usamos o seguinte passo:

Agora, para cada k = 1,2,, escolha nk tal que xnk B1 k (x).

Por que é importante que nk ?

9.5.7. Mostre que se X é compacto e todo ponto tem uma base enumerável de vizinhanças, então toda sequência tem subsequência convergente.

9.5.8. Na resolução do Exercíco 9.5.7, quais passos não funcionariam se não houvesse a hipótese de cada ponto de X ter uma base enumerável de vizinhanças?

9.5.9. Procure (internet?) uma exemplo de um espaço compacto tal que nem toda sequência tem subsequência enumerável.

9.6 Espaços de Hausdorff

Os espaços métricos possuem propriedades que nem sempre estão presentes nos espaços topológicos em geral. Uma dessas propriedades é a Proposição 1.6, que diz que dois pontos distintos podem ser separados por bolas disjuntas. Foi esta propriedade que nos permitiu mostrar que os subconjuntos compactos de com sua topologia usual são fechados (Lema 9.16). Da mesma forma, a Proposição 1.6 pode ser usada para demonstrar que em um espaço métrico, os subconjuntos compactos são sempre fechados.

Definição 9.29 (Espaço de Hausdorff). Um espaço (topológico) de Hausdorff é um espaço topológico X tal que para todos os elementos a,b X distintos, existem U 𝒱a e V 𝒱b com U V = . Também dizemos que X é de Hausdorff, ou simplesmente que X é Hausdorff.

A Definição 9.29 poderia ter sido feita com U e V abertos. A demonstração e o enunciado precisos deste fato ficam como exercício.

O axioma da Definição 9.29 garante que de uma certa forma, dois pontos distintos a e b podem ser separados por vizinhanças. Esse tipo de axioma é chamado de axioma de separação. Veremos outros tipos de axioma de separação no Capítulo ??. Veja também o Exercício 9.6.1.

Os espaços métricos são espaços de Hausdorff. Talvez por isso, os espaços que não são de Hausdorff fujam um pouco à nossa intuição. Quando um espaço é de Hausdorff, em certos casos podemos tratá-lo como se fosse um espaço métrico. Ao invés de dizermos

Tome 𝜀 > 0 tal que 𝜀 < 1 2d(a,b).

podemos simplesmente dizer

Tome vizinhanças disjuntas de a e b.

Mesmo argumentos com espaços métricos ficam mais elegantes se evitarmos escolher 𝜀 para ao invés disso, utilizarmos a Proposição 1.6. Por outro lado, nem todos os espaços topológicos são de Hausdorff. Ao identificarmos que um espaço não é de Hausdorff, sabemos que existem certas propriedades que este espaço pode ter, mas que fogem à nossa intuição.

Exemplo 9.30. O conjunto dos números reais, com sua topologia usual, é um espaço de Hausdorff. De fato, pela Proposição 1.6, qualquer espaço métrico é um espaço de Hausdorff.

Exemplo 9.31 (Topologia caótica). Seja X um conjunto com mais de um elemento. Então, dotado da topologia caótica X,, X não é de Hausdorff. Note que na topologia caótica, todos os subconjuntos de X são compactos, mas os fechados são apenas X e .

Exemplo 9.32 (Convergência pontual). Dados os conjuntos X e o espaço topológico Y , se Y é de Hausdorff, então, o conjunto das funções f : X Y com a topologia da convergência pontual (Exemplo 7.32) é de Hausdorff. Isso porquê, se duas funções f e g são distintas, então existe x X tal que f(x)g(x). Tome duas vizinhanças disjuntas U e V de f(x) e g(x), e perceba que os conjuntos πx1(U) e πx1(V ) são vizinhanças disjuntas de f e g.

Assim como no caso dos espaços métricos, os subconjuntos compactos de um espaço de Hausdorff são sempre fechados.

Proposição 9.33. Se X é um espaço de Hausdorff, então todo subconjunto compacto é fechado. Se X é compacto Hausdorff, então, os subconjuntos de X que são compactos são exatamente os subconjuntos fechados.

Demonstração. A demonstração da primeira parte é idêntica à demonstração do Lema 9.16. Suponha que K X é compacto. Tome aK. Vamos mostrar que aK¯. Para cada k K, existem vizinhanças abertas e disjuntas Uk e V k de k e a. Note que

K kKUk

é uma cobertura aberta de K. Pela compacidade de K, existem k1,,kn tais que,

K Uk1 Ukn.

Faça U = Uk1 Ukn e V = V k1 V kn. Então, V é uma vizinhança de a, tal que

V K V U = .

E portanto, aK¯. Assim, concluímos que K é fechado.

A última afirmação é evidente. □

9.6.1 Rigidez Compacto Hausdorff

Se um espaço topológico X,τX for Hausdorff, então qualquer topologia em X que seja mais forte que τX também será de Hausdorff. Por outro lado, se o espaço é compacto, então continuará sendo compacto mesmo com uma topologia mais fraca. Assim, se X,τX é compacto Hausdorff, então, não existe uma topologia τc τX que seja de Hausdorff, pois tomando A τX τc, teríamos um compacto Ac em τc que não é fechado. E por outro lado, não existe uma topologia τh τX onde X seja compacto, pois neste caso, tomando A τh τX, teríamos um fechado Ac que não é compacto. Esta é a rigidez dos espaços que são compacto Hausdorff.

Proposição 9.34. Seja X um espaço topológico compacto, e Y um espaço de Hausdorff. Se f : X Y é uma bijeção contínua, então f é um homeomorfismo.

Demonstração. É suficiente mostrar que f é uma aplicação fechada. Seja F X um fechado. Pela compacidade de X, F é compacto. Por ser imagem de um compacto por uma aplicação contínua, f(F) é um compacto de Y . Mas como Y é de Hausdorff, f(F) é fechado. □

Exemplo 9.35. Seja X um espaço topológico compacto Hausdorff, Y um espaço topológico qualquer e f : X Y uma aplicação qualquer. Considere o gráfico de f

Gr f = (x,f(x)) x X.

Então,

f é contínua Gr f é compacto.

De fato, note que o gráfico de f é a imagem da função

g := (id ,f) :X X × Y x (x,f(x)) .

Se f é contínua, g é contínua, e a imagem do compacto X por g é um conjunto compacto.

Por outro lado, considere a projeção contínua de X × Y na primeira ( πx) e na segunda ( πy) coordenadas. Ambas são contínuas pela definição da topologia de X × Y . πx|Gr f : Gr f X é uma bijeção contínua do compacto X no espaço de Hausdorff Gr f. Pela Proposição 9.34, πx1 é contínua. Portanto, f = πy πx1 é contínua.

9.6.2 Unicidade da Convergência

Em um espaço topológico X, pode acontecer de uma mesma sequência xn convergir para dois pontos de X distintos. Nos espaços de Hausdorff, isso não acontece. Apesar de a recíproca não ser verdadeira, ou seja, existirem espaços que não são de Hausdorff, mas que os limites das sequências convergentes são únicos, veremos que ao substituir sequências por redes, no Capítulo ??, os espaços de Hausdorff são exatamente aqueles que os limites das redes convergêntes são únicos.

Proposição 9.36. Seja X um espaço de Hausdorff, e xn X uma sequência tal que xn x X e xn y X. Então, x = y.

Demonstração. Se xy, então existem vizinhanças de x e y disjuntas, U e V . Como xn x, temos que a partir de um certo N, todos os xn estão em U. Mas nenhum deles pode estar em V , pois U e V são disjuntos. Isso contraria o fato de xn convergir para y. □

A seguir, um exemplo de um espaço que não é de Hausdorff, mas que os limites de todas as sequências são únicos.

Exemplo 9.37 (Topologia coenumerável). Seja X um conjunto não enumerável, e τ a topologia coenumerável. Ou seja,

τ = A X Ac é enumerável .

As sequências convergentes de X, são aquelas que a partir de um certo N se tornam constantes. Evidentemente que uma tal sequência não pode ter dois limites distintos. No entanto, como X não é enumerável, dois abertos de X nunca são disjuntos.

9.6.3 Exercícios

9.6.1. Se X é um espaço de Hausdorff e x X, então o conjunto x é fechado.

9.6.2. Dê um exemplo de um espaço topológico X onde haja um x X tal que x não é fechado.

9.6.3. Se X é Hausdorff e x X, então

x = 𝒱x.

9.6.4. Se X é Hausdorff e todo x X tem base finita, então, X é discreto.

9.6.5. Se X é Hausdorff e x X, então

x = V 𝒱xV ¯.

9.6.6. Dê uma definição para espaços de Hausdorff, alternativa à Definição 9.29, mas que utilize abertos ao invés de vizinhanças. Demonstre que as duas definições são equivalentes.

9.6.7. Use a Proposição 9.34 para mostrar que se τh τc são topologias em X, com τh Hausdorff e τc compacta, então τh = τc.

9.6.8. Considere o espaço X = [0,1] com a métrica

d(x,y) = supn yn xn.

Mostre que esse espaço não é compacto.

9.6.9. Em um espaço topológico X, dado x X, x é fechado se, e somente se, para todo y X diferente de x existe V 𝒱y tal que xV .

9.6.10. Dê um exemplo de um espaço topológico X onde existem dois pontos x,y X tais que

xn x xn y,

mas que xn y não implica que xn x.

9.7 Compacidade com Sub-Bases

É bastante claro que, ao verificarmos a compacidade de um espaço, é suficiente verificarmos as coberturas formadas por elementos de uma base fixada. Isso porque, toda cobertura de abertos 𝒰 pode ser “refinada” por uma cobertura formada apenas por elementos da base da topologia (veja a Proposição 9.11). É um fato surpreendente (ao menos para o autor), que para verificar a compacidade de um espaço, é suficiente verificar a existência de subcoberturas finitas para coberturas formadas por elementos de uma sub-base. Este é o conteúdo do teorema a seguir. Vamos demonstrar de duas formas. A primeira utiliza indução transfinita e o Princípio da Boa Ordenação. A segunda demonstração utiliza o Lema de Zorn. Antes, vamos precisar de um Lema. Material sobre esses assuntos pode ser encontrado no Apêndice ??.

Lema 9.38. Seja 𝒮uma sub-base para a topologia de X, e seja a base gerada por 𝒮. Se 𝒱 é uma cobertura sem subcobertura finita, e V 𝒱, então, podemos adicionar a 𝒱, um conjunto SV 𝒮 com SV V , de modo que a família

𝒱 = 𝒱S V

também não possui subcobertura finita.

Demonstração. Sabemos que V X. Escreva V = V 1 V n, com V j 𝒮. Para j = 1,,n, faça

𝒱j = 𝒱V j.

Se todas as coberturas 𝒱j tivessem subcobertura finita, 𝒱 também teria (por quê?). Portanto, fazendo SV = V j para algum j tal que 𝒱j não tem subcobertura finita, temos a família 𝒱 satisfazendo a condição desejada. □

Teorema 9.39 (Teorema de Sub-Base de Alexander). Seja 𝒮 uma sub-base para a topologia do espaço X. Então, X é compacto se, e somente se, toda cobertura 𝒰𝒮 possuir uma subcobertura finita.

(Demonstração utilizando o princípio da boa ordenação). É evidente que a condição é necessária. Vamos mostrar que se um espaço não é compacto, então existe uma cobertura formada por elementos da sub-base, mas que não possui subcobertura finita. Fica como exercício mostrar que se 𝒮 não cobre X, então X é compacto. Portanto, podemos assumir que 𝒮 cobre X. Seja a base gerada por 𝒮. Como X não é compacto, existe uma família 𝒰 que cobre X e que não possui subcobertura finita.

Seja uma boa ordem em 𝒰. Vamos utilizar a seguinte notação. Defina

𝒰U = S W W U 𝒰

e

𝒰U = SW W U 𝒰.

Definidos SW 𝒮 para todo W U tal que 𝒰W não possui subcobertura finita, então 𝒰U também não tem subcobertura finita. De fato, se U é o primeiro elemento de 𝒰, 𝒰U = 𝒰 não tem subcobertura finita por hipótese. Caso contrário, uma subcobertura finita de 𝒰U estaria toda contida em 𝒰W para algum W < U, mas 𝒰W não tem subcobertura finita.

O Lema 9.38 implica que existe SU 𝒮, com SU U, tal que 𝒰U é uma cobertura sem subcobertura finita. Por indução transfinita, para todo U 𝒰, 𝒰U é uma cobertura sem subcobertura finita. Mas isso implica que 𝒰 = SU U 𝒰 é uma cobertura, pois SU U, mas sem subcobertura finita. De fato, se 𝒰 tivesse subcobertura finita S1,,Sn, então existiria U 𝒰 tal que S1,,Sn 𝒰U, contrariando o fato de 𝒰U não possuir subcobertura finita. Como 𝒰𝒮, a proposição fica demonstrada. □

Vamos demonstrar o mesmo fato usando o Lema de Zorn. É um bom exercício comparar as duas demonstrações.

(Demonstração utilizando o lema de Zorn). Denotando por a base gerada por 𝒮, basta mostrar que quando X não é compacto, existe uma cobertura 𝒰𝒮 sem subcobertura finita. O conjunto Γ das subfamílias de sem subcobertura finita não é vazio, pois X não é compacto. Ordenando as subfamílias de por inclusão, se 𝒰λ Γ ( λ Λ) é uma cadeia de subcoberturas sem subcobertura finita, então, utilizando o mesmo argumento da demonstração por indução transfinita, concluímos que

𝒰 = λΛ𝒰λ

é uma cobertura sem subcobertura finita, pois se 𝒰 tivesse subcobertura finita, essa subcobertura estaria contida em 𝒰λ para algum λ Λ. Assim, Γ é indutivamente ordenado, e por isso possui um elemento maximal 𝒰m.

Pelo Lema 9.38, assim como na demonstração utilizando indução transfinita, vemos que se U = U1 Un 𝒰m, com Uj 𝒮, então existe SU 𝒰, com SU U, tal que 𝒰m SU não possui subcobertura finita. Pela maximalidade de 𝒰m, temos que SU 𝒰m. Mas isso implica que 𝒰 = 𝒰m 𝒮 cobre X (por quê?). E como 𝒰m não tem subcobertura finita, 𝒰𝒰m também não tem, concluindo a demonstração. □

Um exemplo interessante de aplicação do Teorema de Alexander é a compacidade dos intervalos [a,b] .

Exemplo 9.40 (Compacidade com sub-base em ). Uma sub-base para a topologia usual de é a família

𝒮 = (,x) x (x,) x .

Suponha que 𝒰𝒮 seja uma cobertura de [a,b]. Se os conjuntos da forma (,x) de 𝒰 cobrem [a,b], então existe x > b, com (,x) 𝒰. O mesmo argumento vale se os conjuntos da forma (x,) de 𝒰 cobrirem [a,b]. Caso contrário, tomando como B o supremo dos x tais que (,x) 𝒰, e A o ínfimo dos x tais que (x,) 𝒰, é fácil ver que A < B. Ou seja, existem α,β , com A < α < β < B tais que (,β),(α,) 𝒰. Assim,

[a,b] = (,β) (α,).

Pelo Teorema 9.39, [a,b] é compacto.

9.7.1 Exercícios

9.7.1. Na demonstração do Lema 9.38, como sabemos que V X?

9.7.2. Por que nos preocupamos em observar que V X na demonstração do Lema 9.38?

9.7.3. Mostre que na demonstração do Lema 9.38, se todas as famílias 𝒱j tivessem subcobertura finita, então 𝒱 também teria.

9.7.4. O que daria errado na demonstração do Exemplo 9.40 se substituíssemos [a,b] por [a,b)?

9.8 Produto de Compactos

Como prometido, vamos mostrar que o produto de espaços compactos é compacto na topologia produto. Mesmo que seja o produto de infinitos, e até mesmo incontáveis espaços.

Teorema 9.41. Seja Xλ ( λ Λ) uma família qualquer de espaços topológicos. Neste caso, o espaço

X = λΛXλ

é compacto na topologia produto se, e somente se, todos os Xλ forem compactos.

Demonstração. Se X é compacto, então, como cada Xλ é a imagem do compacto X pela projeção contínua πλ, Xλ é compacto. Vamos utilizar o Teorema de Sub-Base de Alexander (Teorema 9.39) para mostrar a implicação inversa. Suponha que cada Xλ é compacto. Seja

𝒮λ = πλ1(U) U τ λ.

A topologia produto é gerada pela família

𝒮 = λΛ𝒮λ.

Seja 𝒰𝒮 uma cobertura de X. Se nenhuma das subfamílias 𝒰λ = 𝒰𝒮λ cobrir X, então podemos escolher para cada λ, xλ Xλ tal que πλ1(xλ) não é coberto por 𝒰λ. Assim, o conjunto

Y = λΛπλ1(x λ)

contém o elemento (xλ)λΛ, mas não intersecta nenhum elemento de 𝒰λ, para nenhum λ Λ. Ou seja, Y não intersecta nenhum elemento de 𝒰. E isso contraria o fato de 𝒰 ser uma cobertura de X. Portanto, existe um λ tal que 𝒰λ cobre X. Pela compacidade de Xλ, existe uma subfamília finita πλ1(U1),,πλ1(Un) 𝒰λ, tal que U1,,Un cobre Xλ (por quê?). Ou seja, esta família cobre X. Pelo Teorema 9.39, X é compacto. □

Exemplo 9.42 (Representação binária). Na topologia produto, o espaço 0,1 é compacto. Pelo Exemplo 7.31, o conjunto [0,1], como imagem da representação binária (ou decimal) por uma aplicação contínua, também é compacto.

Exemplo 9.43 (Convergência ponto a ponto). Considere o conjunto das funções f : X [M,M], para algum M fixado. Na topologia da convergência ponto a ponto, ou seja, na topologia produto, quando identificamos com [M,M]X, o espaço das funções é compacto.

Mais a frente, veremos que o famoso Teorema de Banach-Alaoglu, estudado em análise funcional, consiste em identificar o espaço estudado com um subconjunto fechado do espaço compacto deste exemplo.

9.8.1 Exercícios

9.8.1. Use um argumento com compacidade para mostrar que a topologia produto em 0,1 não é discreta.