O Livro

Este é o site oficial do livro de matemática Topologia Geral de Vários Ângulos. Inspirado no ideal do software livre, o livro Topologia Geral de Vários Ângulos é livre. Este site explica melhor a questão do conhecimento livre e as motivações do autor para tornar este livro -- e provavelmente todos os que vier a escrever -- livre. No site temos a versão em PDF do livro em vários layouts diferentes. Aqui você pode ter acesso a todo o código-fonte do livro para criar sua própria versão derivativa.

O propósito deste projeto é o de produzir um livro de matemática sobre o assunto topologia geral.

O que é topologia geral?

A topologia geral é uma área da matemática que abstrai os conceitos de convergência e continuidade. Uma métrica abstrai em espaços métricos a noção de distância que -- dentre outras coisas -- nos permite dizer quando uma sequência de pontos se aproxima de algum lugar, quando uma função é contínua, ou quando há saltos. Para esses conceitos, no entanto, a métrica não é de fato necessária. Para saber se uma sequência converge ou não para um determinado ponto, não estamos de fato interessados no valor numérico da distância entre os pontos da sequência e o ponto limite. Precisamos apenas de uma noção do que vem a ser arbitrariamente próximo. A topologia geral estuda esse tipo de estrutura. O nome da estrutura é espaço topológico. Assim como os espaços métricos são conjuntos dotados de uma noção de distância -- uma métrica --, os espaços topológicos são dotados de uma noção de proximidade -- uma topologia!

Os espaços topológicos são mais gerais que os espaços métricos, pois todo espaço métrico é dotado de uma topologia natural. Quando eliminamos informações irrelevantes, por vezes conseguimos uma teoria muito mais elegante e que de fato expõe mais informações sobre a natureza do problema em questão. Argumentos de topologia geral são utilizados em vários campos da matemática, como análise funcional, grupos topológicos, geometria e até mesmo álgebra.

O livro Topologia Geral de Vários Ângulos introduz os conceitos básicos e motivações para a topologia geral através de um estudo introdutório sobre espaços métricos. No entanto, houve a preocupação de não tratar de nenhum assunto sobre espaços métricos que não fosse útil para motivar os conceitos gerais que viriam a seguir. A parte de espaços métricos é bastante fácil e é rapidamente deixada para trás. Uma outra virtude deste livro é o fato de apresentar várias maneiras alternativas de se olhar para a topologia de um espaço. Muitas vezes se vê por aí argumentos excessivamente complicados causados pela falta de conhecimento dessas alternativas. Se vê muita argumentação (padronizada), utilizando conjuntos abertos quando outros tipos de argumento (com redes ou vizinhanças) seriam muito mais adequados. Em análise funcional, por exemplo, por vezes, ao invés de demonstrar que determinado conjunto é aberto, bastaria mostrar que tem interior não vazio.