Capítulo 1
Definição e Propriedades

Vamos descrever (definir) o que se entende por espaço métrico (Definição 1.1), e estudar propriedades desses espaços que nos motivarão a definir o conceito mais geral de espaço topológico (Definição 4.1).

Os conhecimentos adquiridos neste capítulo serão importantes para que o leitor possa ter exemplos concretos e também motivação suficiente para reconhecer a utilidade e aceitar com naturalidade os conceitos que serão apresentados nos capítulos seguintes.

1.1 Definição

Um espaço métrico é um conjunto X, munido de uma métrica d : X × X +. A métrica faz com que esteja definida uma noção de distância entre os pontos de X.

Definição 1.1 (Métrica).

Seja X um conjunto qualquer. Uma métrica definida sobre X é uma função

d :X × X + (x,y) d(x,y)

que, para todo x,y,z X, satisfaz

  1. d(x,y) = 0 x = y.
  2. d(x,y) = d(y,x).
  3. d(x,z) d(x,y) + d(y,z). (desigualdade triangular)

Dizemos que (X,d) é um espaço métrico. Em geral, por um abuso de linguagem, quando a métrica d está subentendida, dizemos que X é um espaço métrico.

Em n, a métrica usualmente adotada é a métrica euclidiana, dada por

d(x,y) = j=1nxj yj2. (1.1)

Onde x = (x1,,xn) e y = (y1,,yn).

Em várias situações, o item (1) da definição de métrica nos permitirá concluir que dois pontos x,y X são de fato o mesmo ponto. Basta mostrar que d(x,y) = 0. O item (3) é o mais importante da definição. É este item que abstrai a idéia de que a distância entre dois pontos está intimamente relacionada com o “menor caminho” entre dois pontos:

Se existe um caminho A, partindo de x e indo para y, e um caminho B, partindo de y e indo para z, então, a menor distância (ou o ínfimo dos comprimentos dos caminhos partindo de x e indo para z) não é maior do que a soma dos comprimentos de A e B. (Figura 1.1)


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Figura 1.1: Desigualdade triangular: C A + B.

Definição 1.2 (Bola).

Seja (X,d) um espaço métrico, x X e 𝜀 > 0. A bola de centro x e raio 𝜀 é o conjunto de todos os pontos que distam de x menos que 𝜀:

B𝜀(x) = y X d(x,y) < 𝜀.

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Figura 1.2: A bola de centro x e raio 𝜀.

1.1.1 Exercícios

1.1.1. Seja X um espaço métrico. Mostre que, y B𝜀(x) se, e somente se, x B𝜀(y).

1.1.2. Em um espaço métrico X, mostre que para x X e 𝜀 δ > 0,

Bδ(x) B𝜀(x).

1.1.3. Em um espaço métrico X, dado um ponto x X e 𝜀 > δ > 0 distintos, podemos concluir que

Bδ(x) B𝜀(x)?

1.1.4. Na definição de espaço métrico, podemos substituir o item (3)

d(x,z) d(x,y) + d(y,z)

por

d(x,z) d(x,y) + d(z,y)?

1.1.5.

Na definição de espaço métrico, podemos substituir o item (2)

d(x,y) = d(y,x)

por

d(x,z) d(y,x) + d(z,y)?

1.1.6. Mostre que d : X × X + é uma métrica se, e somente se,

  1. d(x,y) = 0 x = y.
  2. d(z,x) d(x,y) + d(y,z).

1.1.7. Encontre um exemplo de uma aplicação d : X × X + satisfazendo

  1. d(x,y) = 0 x = y; e
  2. d(x,z) d(x,y) + d(y,z);

mas que não é uma métrica.

1.1.8. Leia a página da Wikipedia em inglês sobre espaços métricos. Depois, vá até a Wikipedia em português e melhore a página sobre espaços métricos que tem lá. :-)

1.2 Propriedades Elementares

Nesta seção, (X,d) é um espaço métrico. As propriedades mais interessantes dos espaços métricos são conseqüência da desigualdade triangular. Muitas vezes, essas propriedades são mais fáceis de serem visualizadas quando temos em mente a distância euclidiana em 2. Ou seja, quando fazemos um desenho em uma folha de papel. É importante enfatizar no entanto, que os resultados dependem apenas das propriedades das métricas (Definição 1.1). O desenho melhora a intuição, mas não é uma demonstração.

Todas as proposições deste capítulo são muito simples. O leitor deve ser capaz de completar as demonstrações que afirmam, por exemplo, que basta tomar um certo δ > 0 para concluir a demonstração.

Proposição 1.3.

Sejam x X e 𝜀 > 0. Então existe n tal que

B1 n (x) B𝜀(x).

Demonstração. Basta tomar n grande o suficiente para que 1 n 𝜀. □

A seguinte Proposição, apesar de muito simples, é fundamental para o desenvolvimento de toda a teoria que se seguirá, e é conseqüência direta da desigualdade triangular.

Proposição 1.4.

Sejam x X, 𝜀 > 0 e

y B𝜀(x).

Então, existe δ > 0 tal que

Bδ(y) B𝜀(x).

Veja a Figura 1.3.


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Figura 1.3: Para cada ponto y da bola B𝜀(x), temos uma “bolinha” centrada em y e toda contida em B𝜀(x).

Demonstração. Basta tomar δ < 𝜀 d(x,y). Neste caso,

z Bδ(y) d(y,z) < δ d(x,z) < d(x,y) + δ < 𝜀 z B𝜀(x).

Proposição 1.5.

Sejam x1,x2 X, e 𝜀1,𝜀2 > 0. Então, dado z B𝜀1(x1) B𝜀2(x2), existe δ > 0 tal que

Bδ(z) B𝜀1(x1) B𝜀2(x2).

Veja a Figura 1.4.


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Figura 1.4: Para cada ponto z da interseção B𝜀1(x) B𝜀2(y), temos uma “bolinha” centrada em z e toda contida na interseção.

Demonstração. Pela Proposição 1.4, existem δ1,δ2 > 0 tais que

Bδ1(z) B𝜀1(x1) Bδ2(z) B𝜀2(x2).

Basta portanto tomar qualquer δ min(δ1,δ2). □

Repare que a proposição “vale” para qualquer número finito de bolas B𝜀1(x1),,B𝜀n(xn). Mas não “vale” para um número infinito de bolas.

Proposição 1.6.

Sejam x,y X dois pontos distintos de X. Então existe 𝜀 > 0 tal que

B𝜀(x) B𝜀(y) = .

Veja a Figura 1.5.


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Figura 1.5: Dois pontos distintos x e y podem ser “separados” por bolas disjuntas.

Demonstração. Como xy, temos que d(x,y) > 0. Basta tomar

𝜀 d(x,y) 2 .

Proposição 1.7.

Seja x X. Então,

𝜀>0B𝜀(x) = {x}.

Demonstração. Basta mostrar que dado y X com yx, existe 𝜀 > 0 tal que

yB𝜀(x).

Basta tomar 𝜀 d(x,y). Ou então notar que isso segue como um caso particular da Proposição 1.6. □

1.2.1 Exercícios

1.2.1. Mostre que em um espaço métrico X, dado x X, temos que

0<δ<𝜀Bδ(x) = B𝜀(x).

1.2.2. Seja X um espaço métrico e x um elemento de X. Mostre que para toda sequência ilimitada nk ,

k=1B 1 nk (x) = x.

1.2.3.

Seja X um espaço métrico, x1,,xn X e 𝜀1,,𝜀2 números reais maiores que zero. Mostre que se

x j=1nB 𝜀j(xj),

então existe δ > 0 tal que

Bδ(x) j=1nB 𝜀j(xj).

1.2.4. Por que a demonstração do exercício 1.2.3 não vale se o número de bolas não for finito?

1.2.5. Na demonstração da Proposição 1.7, exatamente quais propriedades da métrica foram utilizadas?

1.2.6. Na demonstração da Proposição 1.6, onde foram utilizadas as seguintes propriedades da métrica?

  1. d(x,y) = 0 x = y.
  2. x = y d(x,y) = 0.
  3. d(x,y) = d(y,x).
  4. d(x,z) d(x,y) + d(y,z).

1.3 Exemplos

Exemplo 1.8 (Métrica Usual dos Reais (métrica euclidiana)).

Considere o conjunto dos números reais . A seguinte métrica é a métrica usual dos números reais:

d(x,y) = y x.

O espaço (,d) é um espaço métrico.

Exemplo 1.9 (Métrica Discreta).

Seja X um conjunto qualquer. Então, definimos a métrica discreta em X por

dd(x,y) = 0,x = y1, x y .

Exemplo 1.10 (Métrica Euclidiana de n).

Considere o espaço vetorial n. Agora, defina

d(x,y) = y x,

onde é a norma euclidiana de n. O espaço (n,d) é um espaço métrico. Além do mais, possui as seguintes propriedades:

  1. Para todo a,x,y n, d(x + a,y + a) = d(x,y).
  2. Para todo x,y n e α , d(αx,αy) = αd(x,y).

Poderíamos ter feito o mesmo para dois (ou mais) espaços métricos quaisquer, (A,dA) e (B,dB), e definido a seguinte métrica em A × B:

d((a1,b1),(a2,b2)) = dA (a1 , a2 )2 + dB (b1 , b2 )2.

Exemplo 1.11 (Métrica do Máximo em n).

Novamente, considere o espaço vetorial n. Sejam x = (x1,,xn) e y = (y1,,yn) elementos de n. Então, defina

d(x,y) = max1jnyj xj,

O espaço (n,d) é um espaço métrico. Nesta métrica, as bolas são na verdade “quadrados”. :-)

Poderíamos ter feito o mesmo para dois (ou mais) espaços métricos quaisquer, (A,dA) e (B,dB), e definido a seguinte métrica em A × B:

d((a1,b1),(a2,b2)) = max dA(a1,a2),dB(b1,b2).

Exemplo 1.12 (Métrica da Soma em n).

Novamente, considere o espaço vetorial n. Sejam x = (x1,,xn) e y = (y1,,yn) elementos de n. Então, defina

d(x,y) = 1jnyj xj,

O espaço (n,d) é um espaço métrico.

Novamente, poderíamos ter feito o mesmo para dois (ou mais) espaços métricos, (A,dA) e (B,dB), e definido a seguinte métrica em A × B:

d((a1,b1),(a2,b2)) = dA(a1,a2) + dB(b1,b2).

Exemplo 1.13 (Os Complexos e o 2).

Podemos identificar um número complexo z = α + βi com o elemento (α,β) 2. Assim, usando a métrica euclidiana de 2, obtemos a métrica

d(α1 + β1i,α2 + β2i) = (α2 α1 )2 + (β2 β1 )2.

Exemplo 1.14 (Identificando Dois Conjuntos).

O que fizemos no Exemplo 1.13, poderia ter sido feito para qualquer aplicação injetiva. Se (X,dX) é um espaço métrico, e f : Y X é uma injeção partindo de um conjunto qualquer Y , então podemos definir a seguinte métrica no conjunto Y :

dY (y1,y2) = dX(f(y1),f(y2)).

Exemplo 1.15 (Restrição a um Subconjunto).

Seja (X,d) um espaço métrico e A X. Então, (A,d|A×A) é também um espaço métrico. De fato, esta construção é exatamente o que foi feito no Exemplo 1.14 onde a identificação entre A e X é a identidade:

id :A Xaa .

Exemplo 1.16. Seja X um conjunto qualquer. Denote por F o conjunto de todas as funções f : X . A seguinte função NÃO é uma métrica em F:

d(f,g) = supxXg(x) f(x).

Isso porque é possível que d(f,g) = . No entanto, se considerarmos o conjunto F = f F d(f,0) < , onde 0 representa a função constante de valor 0, então (F,d|F) é um espaço métrico. Note que poderíamos ter usado qualquer outra função no lugar de 0.

Sempre podemos fazer isso quando uma função d : X × X + {} satisfaz, com exceção da possibilidade de assumir o valor , as condições para ser uma métrica listadas na Definição 1.1. Esse artifício é utilizado por exemplo, em análise funcional, quando se estudam os chamados espaços Lp. É importante notar que a função d : X × X + {} está bem definida. Apenas não é uma métrica se assumir o valor .

1.3.1 Exercícios

1.3.1. Sejam A,d A e B,d B espaços métricos. Mostre que

d :(A × B) × (A × B) + (a1,b1),(a2,b2) max d A a1,a2,d B b1,b2

é uma métrica.

1.3.2.

Seja Xλ,d Xλ ( λ Λ) uma família de espaços métricos tais que a imagem de d Xλ esteja condida em [0,1]. Seja X = λΛXλ. Mostre que

d : X × X + (xλ),(yλ) supλΛd Xλ xλ,yλ

é uma métrica.

1.3.3.

Seja Xλ,d Xλ ( λ Λ) uma família de espaços métricos. Faça X = λΛXλ, e defina

d : X × X + (xλ),(yλ) supλΛd Xλ xλ,yλ .

Fixando a X, e definindo

X̃ = x d a,x < ,

mostre que, X̃,d é um espaço métrico.

1.3.4.

Seja Xλ,d Xλ ( λ Λ) uma família de espaços métricos. Faça X = λΛXλ, e defina

d : X × X + (xλ),(yλ) λΛd Xλ xλ,yλ .

Fixando a X, e definindo

X̃ = x d a,x < ,

mostre que, X̃,d é um espaço métrico.

1.3.5. Sejam Xn,d Xn, n espaços métricos onde a imagem de d Xn esteja condida em [0,1]. Seja X = n=1Xn. Mostre que

d : X × X + (xn),(yn) n=1 1 2nd Xn xn,yn

é uma métrica.

1.3.6. De um exemplo de uma aplicação

d : 2 +

que satisfaz x = y d x,y = 0, e que também satisfaz os itens (2) e (3) da Definição 1.1, mas que não é uma métrica.

1.3.7.

Considere a aplicação

d :[0,1) × [0,1) + (x,y) 1 ,x = 0,y0 x y, caso contrário .

Mostre que d satisfaz os itens (1) e (3) da Definição 1.1, mas não é uma métrica.