Definição 7.1 (Topologia Induzida em um Subconjunto).

Seja $\left(X,{\tau }_X\right)$ um espaço topológico e $Z\subset X$ um subconjunto de $X$ qualquer. Então, o conjunto

é a topologia induzida por ${\tau }_X$ em $Z$.

Notação. Na Definição 7.1, a notação $Z\cap {\tau }_X$ não é a interseção de ${\tau }_X$ e $Z$, mas a família formada pela interseção dos elementos de ${\tau }_X$ com o conjunto $Z$. Este abuso de notação, em geral, não deve causar problemas de entendimento e será usado sem ressalvas.

Proposição 7.2.

Seja $\left(X,{\tau }_X\right)$ um espaço topológico e $Z\subset X$ um subconjunto qualquer de $X$. Então a topologia induzida em $Z$, ${\tau }_Z=Z\cap {\tau }_X$, satisfaz:

1. Todo aberto $A\in {\tau }_Z$ da topologia induzida é da forma $A=Z\cap A^{\prime }$ para algum aberto $A^{\prime }\in {\tau }_X$ da topologia de $X$.
2. Todo fechado $F\in {\tau }_Z$ da topologia induzida é da forma $F=Z\cap F^{\prime }$ para algum fechado $F^{\prime }\in {\tau }_X$ da topologia de $X$.
3. Se $x\in Z$, então

   $${\mathcal{𝒱}}_{{\tau }_Z}\left(x\right)=Z\cap {\mathcal{𝒱}}_{{\tau }_X}\left(x\right).$$

4. Se $B\subset Z$, então

   $${cl}_{{\tau }_Z}\left(B\right)=Z\cap {cl}_{{\tau }_X}\left(B\right).$$

5. Para $x_n,x\in Z$, então

   $$x_n\underset{}{\overset{{\tau }_X}{\to }}x\iff x_n\underset{}{\overset{{\tau }_Z}{\to }}x.$$

6. Se $\left(Y,{\tau }_Y\right)$ é um espaço topológico qualquer e $f:\left(Y,{\tau }_Y\right)\to \left(X,{\tau }_X\right)$ é uma aplicação tal que $f\left(Y\right)\subset Z$, então

   $$\begin{array}{cccc}\bar{f}:\hfill & \hfill \left(Y,{\tau }_Y\right)& \hfill \to \hfill & \left(Z,{\tau }_Z\right)\hfill \\ \hfill & \hfill y& \hfill \mapsto \hfill & f\left(y\right)\hfill \end{array}$$

   é contínua se, e somente se, $f$ é contínua. (Note que a diferença entre as aplicações $f$ e $\bar{f}$ é apenas o contra-domínio das aplicações)

7. Se $\left(Y,{\tau }_Y\right)$ é um espaço topológico qualquer e $g:\left(X,{\tau }_X\right)\to \left(Y,{\tau }_Y\right)$ é uma aplicação contínua, então

   $$\begin{array}{cccc}g{|}_Z:\hfill & \hfill \left(Z,{\tau }_Z\right)& \hfill \to \hfill & \left(Y,{\tau }_Y\right)\hfill \\ \hfill & \hfill z& \hfill \mapsto \hfill & g\left(z\right)\hfill \end{array}$$

   é contínua.

Observação 7.3. Para uma aplicação $f:\left(X,{\tau }_X\right)\to \left(Y,{\tau }_Y\right)$ e um subconjunto $Z\subset X$, sempre que falarmos de propriedades topológicas de $f{|}_Z$ estaremos nos referindo à topologia $Z\cap {\tau }_X$. De modo mais geral, a menos que se diga o contrário, consideraremos $Z\subset X$ dotado da topologia $Z\cap {\tau }_X$.

Observação 7.4. Note que se $Z$ é um aberto, então

Em particular, os abertos da topologia induzida são também abertos na topologia original. Isso não vale em geral.

Da mesma forma, se $Z$ for fechado, os fechados da topologia induzida serão exatamente os fechados da topologia original que estejam contidos em $Z$. (demonstre!)

Exemplo 7.5 (Topologia Induzida: $\left[0,1\right)\subset ℝ$). Considere a topologia no intervalo $\left[0,1\right)$ induzida pela topologia usual dos números reais. Então, por exemplo, a família

é uma base de vizinhanças abertas para o ponto $0$.

Exemplo 7.6 (Espaço Métrico). Em um espaço métrico $\left(X,d\right)$, temos a topologia ${\tau }_d$, em $X$, induzida pela métrica $d$. Se $Z\subset X$ é um subconjunto qualquer de $X$, então, a princípio, temos duas maneiras canônicas de induzir uma topologia em $Z$. Temos $Z\cap {\tau }_d$, e temos também a topologia ${\tau }_{d_Z}$ induzida pela restrição da métrica $d$ ao conjunto $Z$:

Essas duas topologias coincidem. (por quê? dica: o que são as bolas na métrica induzida?)

7.1.1. Mostre que a família

da Definição 7.1 é de fato uma topologia.

7.1.2. Dê um exemplo de um espaço topológico $\left(X,{\tau }_X\right)$, um subconjunto $Z\subset X$ e uma função $g:\left(X,{\tau }_X\right)\to \left(Y,{\tau }_Y\right)$ tais que $g$ não é contínua, mas $g{|}_Z$ é.

Definição 7.7.

Dada uma família de aplicações

a topologia $\tau \left(f^{-1}\left({\tau }_{\lambda }\right),\lambda \in \Lambda \right)$ — a menor topologia tal que todas as aplicações $f_{\lambda }$ são contínuas — é chamada de topologia (inicial) induzida pela família $f_{\lambda }$. Quando a família é composta por apenas uma aplicação $f$, a topologia inicial é denotada por ${\tau }_f$.

Definição 7.8.

Dada uma família de aplicações

a maior topologia em $Y$ tal que todas as aplicações $f_{\lambda }$ são contínuas é chamada de topologia final induzida pela família $f_{\lambda }$. Quando a família é composta por uma única aplicação $f$, denotamos a topologia final por $\tau f$.

Observação 7.9. O caso em que o uso da topologia final é mais útil, é quando se tem apenas uma função $f$. Para uma família $f_{\lambda }$, se denotarmos por $\tau f_{\lambda }$ a topologia final induzida pela aplicação $f_{\lambda }$, então a topologia final induzida pela família toda será

Isso porque a inteseção de topologias é uma topologia.

Proposição 7.10.

Dada a aplicação $f:\left(X,{\tau }_X\right)\to Y$, a topologia final induzida por $f$ é a família

Exemplo 7.11 ($f:ℝ\to 𝕊1$). A aplicação

é contínua quando consideramos as topologias usuais, ${\tau }_{ℝ}$ de $ℝ$ e ${\tau }_{𝕊1}$ de $𝕊1$. A topologia inicial em $ℝ$ quando consideramos a topologia usual em $𝕊1$ é dada por

Ou, o que dá na mesma,

E qual é a topologia final de $f:\left(ℝ,{\tau }_{ℝ}\right)\to 𝕊1$?

Proposição 7.12.

Dada a aplicação $f:X\to \left(Y,{\tau }_Y\right)$, a topologia inicial ${\tau }_f$ é a única topologia ${\tau }_X$ que torna $f$ contínua e é tal que para todo diagrama comutativo

$$$$,

a continuidade de $g$ é equivalente à continuidade de $\tilde{g}$.

Observação 7.13. Muitos autores começariam a demonstração anterior pela unicidade. Na demonstração da unicidade, não foi preciso utilizar a existência! Não foi preciso saber como é a “cara” da topologia ${\tau }_f$. Optamos por considerar duas topologias quaisquer que satisfazem as condições impostas e demonstrar que são necessariamente iguais. Concluindo que se existe uma, então é única. Daqui por diante, quando possível, começaremos esse tipo de demonstração pela unicidade.

Proposição 7.14.

Considere a família de aplicações $f_{\lambda }:X\to \left(Y_{\lambda },{\tau }_{Y_{\lambda }}\right)$. A topologia inicial em $X$ dada pela família $f_{\lambda }$ é a única topologia ${\tau }_X$ onde todas as $f_{\lambda }$ são contínuas, e para toda aplicação

vale que

Proposição 7.15.

Dada a aplicação $f:\left(X,{\tau }_X\right)\to Y$, a topologia final $\tau f$ é a única topologia, ${\tau }_Y$ que torna $f$ contínua e é tal que para todo diagrama comutativo

$$$$,

a continuidade de $g$ é equivalente à continuidade de $\tilde{g}$.

Exemplo 7.16. Seja $\left(V,‖\cdot ‖\right)$ um espaço normado. Faça

Vamos denotar por ${\tau }_{‖\cdot ‖}$ a topologia da norma e por ${\tau }_f$ a topologia inicial induzida em $V$ por $f$.

A aplicação $f$ é contínua em ${\tau }_{‖\cdot ‖}$. Portanto,

No entanto, se $U\in {\tau }_f$ e $x\in U$, então $y\in U$ para todo $y\in V$ tal que $‖y‖=‖x‖$. Portanto,

Por outro lado, as vizinhanças de $0$ são as mesmas em ambas as topologias.

Fica demonstrado que denotar a topologia da norma por ${\tau }_{‖\cdot ‖}$ foi uma escolha ruim, pois a topologia da norma NÃO é a topologia inicial induzida pela norma. :-p

Exemplo 7.17. Seja $\left(X,d\right)$ um espaço métrico. Considere a família de funções

indexada por $x\in X$. Neste caso, a topologia da métrica $d$ é exatamente a topologia inicial induzida pela família $f_x$.

Exemplo 7.18. Seja $C_b\left(ℝ\right)$ o conjunto das funções limitadas de $ℝ$ em $ℝ$. Para cada $x\in ℝ$, temos

A topologia inicial definida em $C_b\left(ℝ\right)$ pela família $F_x$ ($x\in ℝ$) é a topologia da convergência ponto a ponto, onde

Veja a Seção 7.3.

Ainda podemos, para cada sequência $x_n\in ℝ$ com $x_n\to \infty$ (ou $-\infty$), definir

etc. Podemos sempre obter topologias mais e mais fortes. No entanto, todas elas são mais fracas que a topologia da norma do supremo, pois todas essas funções são contínuas quando $C_b\left(ℝ\right)$ é munido da norma

Se também considerarmos as sequências $x_n\to -\infty$, temos uma topologia mais forte ainda. Podemos ainda fazer o mesmo para o $liminf$ e obtermos topologias cada vez mais fortes. No entanto, todas essas topologias continuam sendo mais fracas que a topologia da norma do supremo, pois todas essas funções são contínuas quando consideramos a norma do supremo em $C_b\left(ℝ\right)$.

7.2.1. Por que a topologia inicial é definida como a mais fraca tal que a família de funções $f_{\lambda }$ é contínua, e não como a mais forte?

7.2.2. Por que a topologia final é definida como a mais forte tal que a família de funções $f_{\lambda }$ é contínua, e não como a mais fraca?

7.2.3. Seja $f_{\lambda }:X\to \left(Y_{\lambda },{\tau }_{\lambda }\right)$ uma família de aplicações. Mostre que

é, de fato, a menor topologia tal que todas as $f_{\lambda }$ são contínuas.

7.2.4. Seja $f_{\lambda }:\left(X_{\lambda },{\tau }_{\lambda }\right)\to Y$ uma família de aplicações. Mostre que

é a topologia mais forte tal que todas as $f_{\lambda }$ são contínuas.

7.2.5. Complete a demonstração da Proposição 7.10.

7.2.6. Dê um exemplo de duas funções $f_1:X\to \left(Y_1,{\tau }_1\right)$ e $f_2:X\to \left(Y_2,{\tau }_2\right)$ tais que

não é uma topologia.

7.2.7. Seja $f:ℝ\to \left(𝕊1,{\tau }_{𝕊1}\right)$ a aplicação do Exemplo 7.11. Mostre que

7.2.8. Seja $f:ℝ\to \left(𝕊1,{\tau }_{𝕊1}\right)$ a aplicação do Exemplo 7.11. Mostre que

7.2.9. Seja $f:\left(ℝ,{\tau }_{ℝ}\right)\to 𝕊1$ a aplicação do Exemplo 7.11. Fixado $x\in ℝ$, para cada $𝜀>0$, seja $I_{𝜀}=\left(x-𝜀,x+𝜀\right)$. Mostre que

é uma base de vizinhanças de $f\left(x\right)$ na topologia final.

Definição 7.19 (Topologia do Produto de dois Espaços).

Sejam $\left(X,{\tau }_X\right)$ e $\left(Y,{\tau }_Y\right)$ dois espaços topológicos. Definimos o espaço produto como sendo o espaço topológico $\left(X\times Y,{\tau }_{X\times Y}\right)$, onde ${\tau }_{X\times Y}$ é gerada pelos conjuntos da forma $U\times V$, onde $U\in {\tau }_X$ e $V\in {\tau }_Y$.

A topologia ${\tau }_{X\times Y}$ é chamada de topologia produto. Por um abuso de notação, escrevemos ${\tau }_X\times {\tau }_Y$ para designar a topologia produto. Quando queremos ser menos ambíguos, escrevemos $\left(X,{\tau }_X\right)\times \left(Y,{\tau }_Y\right)$.

Observação 7.20.

Na Definição 7.19, poderíamos ter dito que a topologia produto é gerada pelos conjuntos da forma $U\times Y$ e $X\times V$, onde $U\in {\tau }_X$ e $V\in {\tau }_Y$. No entanto, os conjuntos da forma $U\times V$, além de geradores são também uma base da topologia. Isso está de acordo com a analogia com a métrica do máximo, onde as bolas — que são uma base para a topologia — são os “quadrados.” No caso da topologia produto, não temos “quadrados,” temos “retângulos.”

Proposição 7.21.

Sejam $\left(X,{\tau }_X\right)$ e $\left(Y,{\tau }_Y\right)$ dois espaços topológicos e ${\tau }_{X\times Y}$ uma topologia qualquer no conjunto $X\times Y$. As seguintes afirmações são equivalentes.

1. A topologia ${\tau }_{X\times Y}$ é a topologia produto. Ou seja,

   $${\tau }_{X\times Y}={\tau }_X\times {\tau }_Y.$$

2. Os conjuntos da forma $A\times B$, onde $A\in {\tau }_X$ e $B\in {\tau }_Y$ formam uma base de ${\tau }_{X\times Y}$.
3. Os conjuntos da forma $A\times Y$ e $X\times B$, onde $A\in {\tau }_X$ e $B\in {\tau }_Y$ formam uma sub-base de ${\tau }_{X\times Y}$.
4. A topologia ${\tau }_{X\times Y}$ é a menor topologia em $X\times Y$ tal que as projeções canônicas são contínuas. Ou seja, é a topologia inicial induzida pelas projeções.
5. Toda aplicação $f:\left(Z,{\tau }_Z\right)\to \left(X\times Y,{\tau }_{X\times Y}\right)$ com domínio em um espaço topológico $Z$ qualquer é contínua se, e somente se, ${\pi }_X\circ f$ e ${\pi }_Y\circ f$ forem contínuas.

Observação 7.22. Se para $f:Z\to X\times Y$ escrevermos

então $f_x={\pi }_X\circ f$ e $f_y={\pi }_Y\circ f$. O item (5) da proposição diz que na topologia produto, $f$ é contínua se, e somente se, $f_x$ e $f_y$ são contínuas.

Observação 7.23. Seja $f:X\times Y\to Z$. O item (5) da Proposição 7.21 pode sugerir que a continuidade de $f$ no ponto $\left(a,b\right)\in X\times Y$ seja equivalente à continuidade de $f\left(a,\cdot \right)$ e $f\left(\cdot ,b\right)$. No entanto, a continuidade dessas duas seções de $f$ é uma condição mais fraca que a continuidade de $f$.

Se $f\left(a,\cdot \right)$ é contínua em $b$, isso significa que se “nos aproximarmos” de $\left(a,b\right)$ na “vertical”, o valor de $f$ se aproxima de $f\left(a,b\right)$. A continuidade de $f\left(\cdot ,b\right)$ em $a$ corresponde à continuidade de $f$ na “horizontal”. No entanto, isso não garante nada sobre o comportamento de $f$ quando “nos aproximamos” de $\left(a,b\right)$ pela “diagonal”, ou mesmo por um caminho em “espiral”. Um exemplo concreto é a aplicação $f:{ℝ}^2\to ℝ$, dada por

Neste caso, $f\left(0,y\right)=f\left(x,0\right)=0$. No entanto, $f\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2}$.

Observação 7.24. Para a topologia produto, também vale que

No entanto, como as sequências convergentes não determinam a topologia, não se pode afirmar que a condição acima determina a topologia produto.

Se ao invés de sequências, utilizássemos o conceito de redes — desenvolvido no Capítulo ?? —, a relação da equação 7.1 caracterizaria totalmente a topologia. Com redes no lugar de sequências, $f$ será contínua se, e somente se, para toda rede $z_{\lambda }\to z$, tivermos

Definição 7.25.

Dada uma família de espaços topológicos $\left(X_1,{\tau }_{X_1}\right),\dots ,\left(X_n,{\tau }_{X_n}\right)$, a topologia produto é a menor topologia de $X_1\times \cdots \times X_n$ onde as projeções em cada coordenada,

são contínuas. O espaço (topológico) produto $\left(X_1,{\tau }_{X_1}\right)\times \cdots \times \left(X_1,{\tau }_{X_1}\right)$, é o conjunto $X_1\times \cdots \times X_n$, dotado da topologia produto.

Definição 7.26. Dada uma coleção qualquer de espaços topológicos $\left(X_{\lambda },{\tau }_{\lambda }\right)$, a topologia produto é a menor topologia de ${\prod }_{\lambda \in \Lambda }{X}_{\lambda }$ onde as projeções em cada coordenada,

são contínuas. O espaço (topológico) produto ${\prod }_{\lambda \in \Lambda }\left(X_{\lambda },{\tau }_{\lambda }\right)$, é o conjunto ${\prod }_{\lambda \in \Lambda }{X}_{\lambda }$, dotado da topologia produto.

Proposição 7.27. Dada uma coleção qualquer de espaços topológicos $\left(X_{\lambda },{\tau }_{\lambda }\right)$, seja $X$ o espaço produto munido da topologia produto. Então, $f:Y\to X$ é contínua se, e somente se, ${\pi }_{\lambda }\circ f$ é contínua para todo $\lambda \in \Lambda$.

Exemplo 7.28. Considere o conjunto $X={\left[0,1\right]}^{\mathbb{N}}$ e as seguintes normas

A topologia da norma ${‖\cdot ‖}_2$ é a topologia produto. De fato, nesta norma, a bola centrada em $a$, de raio $𝜀>0$ é igual a

onde $N$ é tal que $\left(N+1\right)𝜀>1$.

A topologia da norma ${‖\cdot ‖}_1$ é mais forte que a topologia produto. Neste caso, a bola centrada em $a$, de raio $𝜀>0$ é igual a

que pode não é aberto quando $B_{𝜀}\left(a_n\right)\ne \left[0,1\right]$ para uma quantidade infinita de índices $n$.

Proposição 7.29. Sejam $\left(X_{\lambda },{\tau }_{\lambda }\right)$ espaços topológicos, e ${\pi }_{\gamma }$ as projeções canônicas

Então, cada ${\pi }_{\gamma }$ é uma aplicação aberta.

Proposição 7.30. Sejam $\left(X_{\lambda },{\tau }_{\lambda }\right)$ espaços topológicos, $X={\prod }_{\lambda \in \Lambda }{X}_{\lambda }$ o espaço produto e ${\pi }_{\gamma }$ as projeções canônicas

Então, escolhendo $x=\left(x_{\lambda }\right)\in X$, para cada $\gamma \in \Lambda$, o conjunto da forma

é homeomorfo a $X_{\gamma }$.

Exemplo 7.31 (Representação Decimal). Considere o conjunto $D=\left\{0,1,\dots ,9\right\}$ dos dígitos de $0$ a $9$. O espaço $X=D^{\mathbb{N}}$ pode ser utilizado para representar números reais no intervalo $\left[0,1\right]$. Enxergamos um elemento $\left(a_0,a_1,\dots \right)\in X$ como sendo o número real cuja representação decimal é $0,a_0{a}_1{a}_2\cdots$. Formalmente, a representação é feita pela função

Note, no entanto, que a aplicação $f$ não é uma bijeção. Apesar de $f$ ser sobrejetiva, existem números que possuem duas representações distintas. Por exemplo,

Na topologia produto, uma sequência $a^n={\left(a_j^n\right)}_{j\in \mathbb{N}}$ converge para $a={\left(a_j\right)}_{j\in \mathbb{N}}$, quando para todo $j\in \mathbb{N}$, $a_j^n\to a_j$. No entanto, como $D$ é discreto, isso significa que a partir de um certo $N=N_j$,

Em outras palavras, para todo $J$, existe $N$ tal que

Assim, na topologia produto, $a^n$ converge para $a$ quando para todo $J$, a partir de um certo $n$, os $J$ primeiros termos de $a^n$ coincidem com os $J$ primeiros termos de $a$. Em particular, a aplicação $f$ é contínua, pois se $a_n\in D^{\mathbb{N}}$ converge para $a\in D^{\mathbb{N}}$, então, para todo $M$, existe $N$ tal que os primeiros $M$ termos de $a_n$ coincidem com os de $a$, para todo $n\ge N$. E isso implica que $f\left(a_n\right)\to f\left(a\right)$.

É comum utilizarmos o espaço ${\left\{0,1\right\}}^{\mathbb{N}}$, ao invés de $D^{\mathbb{N}}$. Neste caso, trabalhamos com a representação binária dos elementos de $\left[0,1\right]$.

Exemplo 7.32 (Espaço de Funções: convergência pontual). Sejam $X$ um conjunto qualquer, e $Y$ um espaço topológico. Podemos identificar as funções $f:X\to Y$ com os elementos do conjunto

onde $Y_x$ é uma cópia do espaço $Y$. Se dotarmos $Y^X$ da topologia produto, temos uma noção de convergência no espaço das funções de $X$ em $Y$. Nesta topologia, uma vizinhança $V$ de $f:X\to Y$ são as funções $g:X\to Y$ que para um certo número finito de pontos (coordenadas) $x_1,\dots ,x_n\in X$, $g\left(x_j\right)$ e $f\left(x_j\right)$ diferem “pouco”. Para que $g$ pertença a esta vizinhança $V$, não faz diferença que valores $g$ assume em pontos diferentes de $x_1,\dots ,x_n$. Para ser preciso, uma vizinhança $V$ é um conjunto que contém ${\pi }_{x_1}^{-1}\left(U_1\right)\cap \cdots \cap {\pi }_{x_n}^{-1}\left(U_n\right)$ para determinados $x_1,\dots ,x_n$, e determinadas vizinhanças $U_j\in {\mathcal{𝒱}}_{}\left((\right)x_j)$.

Pela Proposição 5.17, uma sequência $f_n:X\to Y$ converge para $f:X\to Y$ nesta topologia, exatamente quando, para todo $x\in X$, $f_n\left(x\right)\to f\left(x\right)$. Por isso, esta topologia no espaço das funções de $X$ a $Y$ é chamada de topologia da convergência pontual, ou topologia da convergência ponto a ponto.

7.3.1.

Seja $f:X\to Y$ uma aplicação qualquer entre os espaços topológicos $X$ e $Y$. O gráfico de $f$ é o conjunto

Mostre que quando $f$ é contínua e $Y$ é um espaço métrico, o seu gráfico é um subconjunto fechado de $X\times Y$. (Veja também a definição de espaço de Hausdorff: 9.29)

7.3.2. Encontre uma função contínua $f:X\to Y$ cujo gráfico não seja um subconjunto fechado de $X\times Y$.

7.3.3.

Mostre que o conjunto

é fechado em ${ℝ}^2$.

7.3.4.

Mostre que, apesar de

ser um conjunto fechado pelo exercício 7.3.3, a projeção de $H$ na primeira (e também na segunda) coordenada não é um conjunto fechado.

7.3.5. Explique o que representa o conjunto $X\left(\gamma ,x\right)$ na Proposição 7.30.

7.3.6. Explique porque, na demonstração da Proposição 7.30, $X\left(\gamma ,x\right)\cap {\pi }_{\lambda }^{-1}\left(A\right)$ ou é vazio ou é $X\left(\gamma ,x\right)$ quando $\lambda \ne \gamma$.

7.3.7. Por que no Exemplo 7.31 pudemos afirmar que $f:X\to \left[0,1\right]$ é contínua baseado apenas no fato de