6 Fecho e Interior

Capítulo 6
Fecho e Interior

Dado um subconjunto

B \subset X

de um espaço topológico

X

, vamos associar a

B

o conjunto

\bar{B}

dado por todos os pontos que estão “próximos” de

B

. Veremos que a propriedade do item (3) da Proposição 4.8 garantirá que se

F = \bar{B}

, então

F = \bar{F}

. Ou seja, apesar de termos acrescentado pontos em

B

para construir o conjunto

F

, mesmo com esse alargamento,

F

não se tornou “próximo” de nenhum ponto do qual

B

já não fosse próximo. O conjunto

\bar{B}

é o fecho de

B

. E os conjuntos

F

que satisfazem

F = \bar{F}

são chamados de conjuntos fechados. Veremos que os conjuntos fechados são exatamente os complementares dos conjuntos abertos.

6.1 Fecho e Fechado

Deﬁnição 6.1.

Seja $(X, τ_{X})$ um espaço topológico e $B \subset X$ um subconjunto qualquer de $X$ . Deﬁnimos o fecho de $B$ , e denotamos por $\bar{B}$ o conjunto

\bar{B} = \{x \in X| \forall V \in 𝒱_{} (x), V \cap B \neq \emptyset\} .

Também escrevemos ${cl}_{} (B)$ ; ou quando queremos enfatizar a topologia $τ_{X}$ , escrevemos ${cl}_{τ_{X}} (B)$ .

Observação 6.2. O operador de fecho é uma aplicação

\begin{matrix} cl : & 𝒫 (X) & \to & 𝒫 (X) \\ B & \mapsto & \bar{B} \end{matrix} .

Lema 6.3.

Seja $(X, τ_{X})$ um espaço topológico. E para cada $x$ , seja $β_{x} \subset 𝒱_{} (x)$ uma base de vizinhanças de $x$ . Então,

\bar{B} = \{x \in X| \forall V \in β_{x}, V \cap B = \emptyset\} .

Em particular, $x$ está no fecho de $B$ se, e somente se, para todo vizinhança aberta $U$ de $x$ , $U \cap B = \emptyset$ .

Vamos então veriﬁcar algumas propriedades do operador ${cl}_{τ_{X}}$ .

Proposição 6.4.

A operação de fecho no espaço topológico $(X, τ_{X})$ satisfaz:

$\bar{\emptyset} = \emptyset, \bar{X} = X$ .
$B \subset \bar{B}$ .
$A \subset B \Rightarrow \bar{A} \subset \bar{B}$ .
$\bar{\bar{B}} = \bar{B}$ . ( ${cl}_{τ_{X}}^{2} = {cl}_{τ_{X}}$ )
Se $B_{λ}$ ( $λ \in Λ$ ) é uma família qualquer de subconjuntos de $X$ , então
$⋃_{λ \in Λ} \bar{B_{λ}} \subset \bar{⋃_{λ \in Λ} B_{λ}} .$
Se $A$ $B$ são subconjuntos de $X$ , então
$\bar{A} \cup \bar{B} = \bar{A \cup B} .$

Demonstração. _ Itens (1), (2) e (3).

Consequências imediatas da deﬁnição de fecho.

_ Item (4).

Por (2), $\bar{B} \subset \bar{\bar{B}}$ . Seja então $x \in \bar{\bar{B}}$ , e seja $U \in τ_{X}$ uma vizinhança aberta de $x$ . Então existe $y \in \bar{B}$ , tal que $y \in U$ . Ou seja, $U$ é vizinhança de $y$ . E portanto, como $y$ está no fecho de $B$ , existe $z \in B$ tal que $z \in U$ . Provamos que toda vizinhança aberta de $x$ intercepta $B$ . Pelo lema 6.3, $x \in \bar{B}$ .

_ Item (5).

O item (5) é imediato da deﬁnição de fecho. No entanto, também pode ser demonstrado através do item (3), pois para todo $γ \in Λ$ ,

B_{γ} \subset ⋃_{λ \in Λ} B_{λ} \Rightarrow \bar{B_{γ}} \subset \bar{⋃_{λ \in Λ} B_{λ}} .

Basta então fazer a união para todo $γ \in Λ$ .

_ Item (6).

Por (5), basta mostrar que

\bar{A \cup B} \subset \bar{A} \cup \bar{B} .

Suponha que $x \in \bar{A \cup B}$ , mas $x \notin \bar{A}$ . Vamos mostrar que $x \in \bar{B}$ . Existe uma vizinhança $V$ de $x$ tal que $V \cap A = \emptyset$ . Toda vizinhança de $x$ intercepta $A \cap B$ . Então, toda vizinhança de $x$ contida em $V$ , já que não intercepta $A$ , tem que interceptar $B$ . Observando que a família de todas as vizinhanças de $x$ contidas em $V$ forma uma base de vizinhanças de $x$ (por quê?), concluímos pelo lema 6.3 que $x \in \bar{B}$ . □

Observação 6.5. A demonstração do item (4) da Proposição 6.4 (de fato, o lema 6.3 utilizou, de maneira essencial, o fato de a família das vizinhanças abertas de um ponto formar uma base de vizinhanças. Veja a Observação 3.5, o texto introdutório da seção 3.5 e a Figura 4.2.

Deﬁnição 6.6.

Dado um espaço topológico $(X, τ_{X})$ , um conjunto $F \subset X$ é fechado quando $\bar{F} = F$ .

Pela deﬁnição de fechado, os conjuntos fechados são os pontos ﬁxos da aplicação ${cl}_{τ_{X}}$ . Por outro lado, o item (4) da Proposição (6.4) mostra que todo conjunto da forma $\bar{B}$ é fechado. Ou seja, a família dos conjuntos fechados é exatamente a imagem de ${cl}_{τ_{X}}$ . Se o “fecho” de um conjunto não fosse “fechado”, precisaríamos dar outro nome para ao menos um dos dois conceitos. :-)

Proposição 6.7.

Em um espaço topológico $(X, τ_{X})$ , $F \subset X$ é fechado se, e somente se, $F c \in τ_{X}$ .

Demonstração. Tome $x \in F c$ . Então existe $V \in 𝒱_{} (x)$ tal que $V \cap F = \emptyset$ . Ou seja, $V \subset F c$ . Portanto, $F c$ é aberto, já que é vizinhança de todos os seus pontos.

Por outro lado, suponha que $F c \in τ_{X}$ . Então, nenhum ponto de $F c$ pertence a $\bar{F}$ (por quê?). Ou seja,

\bar{F} \subset F .

Portanto, $\bar{F} = F$ (por quê?). □

Observação 6.8. A Proposição 6.7 mostra que a topologia de $X$ pode ser determinada pela família

ℱ = \{F \subset X| \bar{F} = F\},

dos subconjuntos fechados de $X$ . Quando é então que uma família $ℱ \subset 𝒫 (X)$ deﬁne os conjuntos fechados de uma topologia $τ_{X}$ ? Ou seja, quando é que a família

τ_{ℱ} = \{A \subset X| A c \in ℱ\}

é uma topologia de $X$ ? A resposta é simples: a família $ℱ$ terá que satisfazer as condições listadas na Proposição 6.9.

Indo um pouco além, se conhecermos ${cl}_{τ_{X}}$ , também sabemos quem são os fechados de $τ_{X}$ , e por consequência, sabemos quem é a topologia $τ_{X}$ . Desta forma, quando é então que uma aplicação

c : 𝒫 (X) \to 𝒫 (X)

é igual à operação de fecho ${cl}_{τ_{X}}$ de uma topologia $τ_{X}$ ? A resposta a esta pergunta está contida na Proposição 6.4. Veja o Exercício ??.

Proposição 6.9.

Dado um espaço topológico $(X, τ_{X})$ , a família $ℱ$ formada pelos subconjuntos fechados de $X$ satisfaz:

$\emptyset, X \in ℱ$ .
$F_{1}, F_{2} \in ℱ \Rightarrow F_{1} \cup F_{2} \in ℱ$ .
$F_{λ} \in ℱ (λ \in Λ) \Rightarrow ⋂_{λ \in Λ} F_{λ} \in ℱ$ .

Demonstração. Basta utilizar as leis de De Morgan

\begin{array}{l} ⋃_{λ \in Λ} A_{λ} c & = (⋂_{λ \in Λ} A_{λ}) c \\ ⋂_{λ \in Λ} A_{λ} c & = (⋃_{λ \in Λ} A_{λ}) c \end{array}

para veriﬁcar a equivalência entre os itens da proposição e os itens da deﬁnição de topologia 4.1. □

O fecho de um conjunto $B$ pode ser facilmente determinado se utilizarmos a família $ℱ$ dos fechados.

Proposição 6.10.

Seja $X$ um espaço topológico e $ℱ$ a família formada pelos subconjuntos fechados de $X$ . Então, para um subconjunto qualquer $B \subset X$ ,

\bar{B} = ⋂_{\begin{array}{c} B \subset F \\ F é fechado \end{array}} F .

Em outras palavras, $\bar{B}$ é o menor conjunto fechado que contém $B$ .

Demonstração. Como $\bar{B}$ é fechado e $B \subset \bar{B}$ , temos que

⋂_{B \subset F \in ℱ} F \subset \bar{B} .

Aﬁrmação. Se $F$ é fechado, então

B \subset F \Rightarrow \bar{B} \subset F .

_______________________________________________________________________________

De fato,

B \subset F \Rightarrow \bar{B} \subset \bar{F} = F .

_______________________________________________________________________________

Pela aﬁrmação anterior, é evidente que

\bar{B} \subset ⋂_{B \subset F \in ℱ} F .

□

6.2 Interior

Assim como para o fecho, dado um espaço topológico $(X, τ_{X})$ , podemos associar a cada $B \subset X$ o subconjunto de $B$ formado por todos os pontos dos quais $B$ é vizinhança. Do mesmo modo que o fecho de um conjunto é fechado, o interior será aberto. E assim como o fecho de $B$ é o menor fechado que contém $B$ , seu interior é o menor aberto contido em $B$ .

Proposição 6.11. Seja $(X, τ_{X})$ um espaço topológico e $B \subset X$ um subconjunto qualquer de $X$ . Então existe um conjunto $A \subset B$ que é o maior subconjunto de $B$ que é aberto. O conjunto $A$ também pode ser escrito

A = \{x \in B| B \in 𝒱_{} (x)\} .

Demonstração. Como a união arbitrária de abertos é um aberto, então

A^{'} = ⋃_{\begin{array}{c} U \in τ_{X} \\ U \subset B \end{array}} U

é evidentemente o maior aberto contido em $B$ . Vamos mostrar que $A = A^{'}$ .

O conjunto $A^{'}$ é tal que se $x \in A^{'}$ , então $A^{'} \in 𝒱_{} (x)$ . Como $A^{'} \subset B$ , então para todo ponto de $x \in A^{'}$ , temos que $B$ é uma vizinhança de $x$ . Ou seja,

A^{'} \subset A .

Falta então mostrar que o conjunto $A$ é aberto e que portanto,

A \subset A^{'} .

Seja $x \in A$ . Como $B$ é vizinhança de $x$ , então existe uma vizinhança aberta de $x$ , $U_{x}$ , tal que $x \in U_{x} \subset B$ . O conjunto $U_{x}$ é vizinhança de todos os seus pontos. Em particular, $B$ é vizinhança de todos os pontos de $U_{x}$ . Ou seja,

U_{x} \subset A .

E portanto,

A = ⋃_{x \in A} U_{x}

é aberto. □

É importante notar quando se aﬁrma a “existência” de um elemento “máximo”. Ao contrário do que nossa intuição possa acreditar, nem sempre existe um elemento “máximo” ou “maximal” que satisfaça determinada condição. Por exemplo, não existe o “maior número real que é menor que $1$ .” Talvez o leitor não tenha percebido, mas se o conjunto $\emptyset$ não fosse aberto, a demonstração anterior não estaria correta. Em que momento utilizamos que $\emptyset$ é um conjunto aberto?

Deﬁnição 6.12.

Seja $(X, τ_{X})$ um espaço topológico e $B \subset X$ um subconjunto qualquer de $X$ . O interior de $B$ é maior conjunto aberto contido em $B$ . Denotamos o interior de $B$ por $\ddot{B}$ , ${int}_{} (B)$ , ou ainda ${int}_{τ_{X}} (B)$ quando queremos enfatizar que é o interior de $B$ com respeito à topologia $τ_{X}$ .

Proposição 6.13.

Seja $X$ um espaço topológico. Valem as seguintes relações entre o fecho e o interior de um conjunto $B \subset X$ :

\begin{array}{l} {cl}_{} (B c) & = {int}_{} (B) c \\ {cl}_{} (B) c & = {int}_{} (B c) . \end{array}

Demonstração. Exercício. :-) □

6.3 Continuidade

Os conjuntos fechados são simplesmente complementos de conjuntos abertos. Dada uma aplicação $f : X \to Y$ , a inversa $f^{- 1}$ preserva a operação de complemento. Assim, $f$ será contínua quando a imagem inversa de cada fechado for um conjunto fechado.

Proposição 6.14.

Sejam $(X, τ_{X})$ e $(Y, τ_{Y})$ espaços topológicos e $f : X \to Y$ uma aplicação qualquer. As seguintes aﬁrmações são equivalentes:

A aplicação $f$ é contínua: para todo aberto $A \subset Y$ , $f^{- 1} (A)$ é um aberto de $X$ .
Para todo fechado $F \subset Y$ , $f^{- 1} (F)$ é um fechado de $X$ .
Para todo conjunto $B \subset X$ ,
$f (\bar{B}) \subset \bar{f (B)} .$
Para todo conjunto $B \subset X$ ,
${int}_{} (f (B)) \subset f ({int}_{} (B)) .$

Demonstração. _ (1) $\Leftrightarrow$ (2)

Basta notar que $f^{- 1} : 𝒫 (Y) \to 𝒫 (X)$ preserva a operação de complemento. Isto é,

f^{- 1} (A c) = (f^{- 1} (A)) c .

_ (2) $\Rightarrow$ (3)

Por hipótese, o conjunto $f^{- 1} (\bar{f (B)})$ é fechado e contém $B$ . Portanto, como o fecho de $B$ é o menor fechado que o contém, segue que

\bar{B} \subset f^{- 1} (\bar{f (B)})

Basta agora aplicar $f$ a ambos os lados para obter

f (\bar{B}) \subset \bar{f (B)} .

_ (3) $\Leftrightarrow$ (4)

Segue da relação entre o fecho e o interior descrito na Proposição 6.13.

_ (3) $\Rightarrow$ (2)

Seja $F \subset Y$ um conjunto fechado. Faça

B = f^{- 1} (F) .

Vamos mostrar que $B$ é fechado. Pela hipótese do item (3), vale que

f (\bar{B}) \subset \bar{f (B)} \subset \bar{F} = F .

Aplicando $f^{- 1}$ de ambos os lados,

\bar{B} \subset f^{- 1} (F) = B .

Portanto, $\bar{B} = B$ . □

6.3.1 Aplicação Fechada

Assim como ﬁzemos quando deﬁnimos o que vem a ser uma aplicação aberta (Deﬁnição 4.19), vamos deﬁnir o que é uma aplicação fechada.

Deﬁnição 6.15.

Uma aplicação $f : X \to Y$ entre dois espaços topológicos é fechada, quando para todo fechado $F \subset X$ , sua imagem $f (F) \subset Y$ também for fechada.

Note que enquanto é verdade que se $f^{- 1}$ leva abertos em abertos (ou seja, $f$ é contínua), então $f^{- 1}$ leva fechados em fechados; não é verdade que se $f$ é uma aplicação aberta, também será uma aplicação fechada. Por exemplo,

\begin{matrix} f : & ℝ & \to & ℝ \\ x & \mapsto & 0 \end{matrix}

é uma aplicação fechada, mas não é aberta.

6.4 Convergência

Em um espaço topológico $X$ , se $F \subset X$ é fechado, e $x \notin F$ , então nenhuma sequência $x_{n} \in F$ pode convergir para $x$ . De fato, $F c$ é uma vizinhança de $x$ que não contém nenhum ponto da sequência $x_{n}$ . Portanto, se uma sequência $x_{n} \in F$ converge para $x$ , teremos que $x \in F$ . Em particular, esquecendo um pouco o conjunto $F$ , se $x_{n} \to x$ , então,

x \in \bar{\{x_{n}| n \in ℕ\}} .

Indo um pouco além,

x \in ⋂_{N \in ℕ} \bar{\{x_{n}| n \geq N\}} .

Pois a sequência $x_{N + n}$ também converge para $x$ .

Por outro lado, dada a sequência $x_{n} \in X$ , suponha que

x \in ⋂_{N \in ℕ} \bar{\{x_{n}| n \geq N\}} .

Podemos concluir que $x_{n} \to x$ ? A resposta é não! Mas por que não? Por exemplo, por que $x_{n} = {(- 1)}^{n}$ não converge? E se

{x} = ⋂_{N \in ℕ} \bar{\{x_{n}| n \geq N\}},

então vale que $x_{n} \to x$ ? Considere

x_{n} = \{\begin{matrix} 0, & n é impar \\ n, & n é par \end{matrix}

para veriﬁcar que não vale. Mas é verdade que se $x_{n} \to x$ , então

{x} = ⋂_{N \in ℕ} \bar{\{x_{n}| n \geq N\}} ?

Para ver que não, basta considerar a topologia ${\emptyset, X}$ , onde $X$ é um conjunto qualquer com mais de um elemento. Neste caso,

X = ⋂_{N \in ℕ} \bar{\{x_{n}| n \geq N\}},

pois o fecho de qualquer conjunto não vazio é igual a $X$ .

Vamos supor, então, que

x \in ⋂_{N \in ℕ} \bar{\{x_{n}| n \geq N\}} .

Neste caso, quando é que $x_{n} \to̸ x$ ? Se

x_{n} \to̸ x,

então existe uma vizinhança de $x$ , $V$ , tal que inﬁnitos $x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, x_{n_{3}}, \dots$ não pertencem a $V$ . Ou seja,

x \notin \bar{\{x_{n_{k}}| k \in ℕ\}} .

É como dizer que $x_{n} \to x$ quando para toda “subsequência” $x_{n_{k}}$ tivermos que $x_{n_{k}} \to x$ .

Deﬁnição 6.16.

Dado um conjunto $X$ e uma sequência $x_{n} \in X$ . Uma sub-sequência de $x_{n}$ é simplesmente uma sequência $y_{k} = x_{n_{k}}$ , onde $n_{1} < n_{2} < n_{3} < \dots$ .

Observação 6.17.

Dada uma sequência $x_{n} \in X$ , o que determina as subsequências de $x_{n}$ , são as aplicações

\begin{matrix} f : & ℕ & \to & ℕ \\ k & \mapsto & n_{k} \end{matrix},

que preservam a ordem $\leq$ de $ℕ$ . Ou seja,

k_{1} \leq k_{2} \Leftrightarrow n_{k_{1}} \leq n_{k_{2}} .

Poderíamos ter deﬁnido subsequência como uma aplicação $f : ℕ \to ℕ$ que satisfaz

k_{1} < k_{2} \Rightarrow f (k_{1}) < f (k_{2}) .

Proposição 6.18.

Dado um espaço topológico $X$ , uma sequência $x_{n} \in X$ converge para $x \in X$ se, e somente se, para toda subsequência $x_{n_{k}}$ ,

x \in \bar{\{x_{n_{k}}| k \in ℕ\}} .

Demonstração. Se $x_{n} \to x$ , então toda subsequência $x_{n_{k}}$ converge para $x$ (por quê?). Portanto,

x \in \bar{\{x_{n_{k}}| k \in ℕ\}} .

Pois se $x \notin \bar{\{x_{n_{k}}| k \in ℕ\}}$ , então $\bar{\{x_{n_{k}}| k \in ℕ\}} c$ é uma vizinhança de $x$ que não contém nenhum $x_{n_{k}}$ .

Por outro lado, se $x_{n} \to̸ x$ , então existe uma vizinhança $V$ de $x$ , tal que para inﬁnitos índices $n_{1}, n_{2}, n_{3}, \dots$ , $x_{n_{k}} \notin V$ . Portanto, para esses índices,

x \notin \bar{\{x_{n_{k}}| k \in ℕ\}} .

□

Uma das implicações da Proposição 6.18, é que basta conhecer o fecho dos conjuntos enumeráveis para sabermos quais são e quais não são as sequências convergentes. Em espaços métricos, por exemplo, os conjuntos fechados $F$ , são exatamente aqueles que

x_{n} \in F, x_{n} \to x \Rightarrow x \in F .

Em espaços topológicos em geral, isso não é necessariamente válido. Mais adiante, veremos como o conceito de redes pode remediar esta deﬁciência das sequências. Por exemplo, considere a topologia em $ℝ$ do exercício ??, onde os fechados são, além do próprio $ℝ$ , os conjuntos enumeráveis (com cardinalidade menor ou igual à de $ℕ$ ). Neste caso, as sequências convergentes são constantes a menos de um número ﬁnito de índices:

x_{n} \to x \Leftrightarrow \exists N \in ℕ, \forall n \geq N, x_{n} = x .

(6.1)

De fato, se houvessem inﬁnitos índices $n_{k}$ tais que $x_{n_{k}} \neq x$ , então, $\{x_{n_{k}}| k \in ℕ\}$ seria um fechado que não contém $x$ , contradizendo a Proposição 6.18. Por outro lado, as sequências de (6.1), são exatamente as sequências convergentes na topologia discreta.

Essa mesma construção poderia ser feita com qualquer conjunto $X$ no lugar de $ℝ$ , para se ter uma topologia em $X$ onde as sequências convergentes são as mesmas da topologia discreta. Precisamos que $X$ seja não enumerável para que a topologia construída seja diferente de topologia discreta $𝒫 (X)$ .

Em espaços métricos, uma aplicação $f : X \to Y$ era contínua quando

x_{n} \to x \Rightarrow f (x_{n}) \to f (x) .

(6.2)

Para o caso de espaços topológicos, a continuidade de $f$ implica na condição da equação (6.2). No entanto, a volta nem sempre vale.

Proposição 6.19.

Seja $f : X \to Y$ uma aplicação entre espaços topológicos, contínua no ponto $x \in X$ . Então,

x_{n} \to x \Rightarrow f (x_{n}) \to f (x) .

Demonstração. Se $f (x_{n}) \to̸ f (x)$ , então existe uma vizinhança aberta $A$ de $f (x)$ , tal que para um número inﬁnito de índices, a sequência $f (x_{n})$ não pertence a $A$ . Portanto, para um número inﬁnito de índices, a sequência $x_{n}$ não pertence a $f^{- 1} (A)$ , que é, pela continuidade de $f$ em $x$ , uma vizinhança de $x$ . O que mostra que $x_{n} \to̸ x$ . □