Capítulo 2
Topologia Usando uma Métrica

Vamos ver como a métrica (distância) é utilizada para descrever aspectos topológicos dos espaços métricos. Veremos como uma métrica é utilizada para descrever convergência de seqüências (Definição 2.1) e continuidade de funções (Definição 2.7 e Proposição 2.10).

Neste capítulo, (X,d) é um espaço métrico.

2.1 Seqüências e Convergência

Seja n . A sequência de pontos xn = 1 n é tal que, “na medida que n se torna suficientemente grande, a sequência xn se aproxima de 0. Nesta sessão, vamos formalizar o que entendemos por:

Na medida que n se torna suficientemente grande, 1 n se aproxima de 0.

Para um espaço métrico X, a noção de “se aproxima de” é um tanto quanto natural, já que temos uma métrica que nos dá uma noção de distância. A grosso modo, xn X se aproxima de x quando a distância entre xn e x, d(xn,x), se aproxima de 0. Faltaria então definir o que significa dizer que a sequência de números reais d(xn,x) “se aproxima” de 0.


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Figura 2.1: A sequência 1 2n “se aproxima” de 0.

Definição 2.1 (Convergência).

Sejam (X,d) um espaço métrico e xn X ( n ) uma sequência de pontos de X. Dizemos que xn converge para um certo x X, quando para todo 𝜀 > 0, existir N tal que

n N d(xn,x) < 𝜀.

Denotamos tal fato por

xn x,

ou por xn dx se quisermos enfatizar que a convergência é na métrica d.

Também dizemos que x é o limite da sequencia xn e escrevemos x = limxn.

A Definição 2.1 generaliza o que já fazemos para os números reais. No caso dos números reais, usualmente adotamos a métrica d(x,y) = y x.

Definição 2.2 (Convergência usual em ).

Seja αn ( n ). Dizemos que αn converge para α , e denotamos tal fato por αn α, quando para todo 𝜀 > 0, existir N tal que

n N α αn < 𝜀.

Poderíamos ter tomado um outro caminho. Já de posse da definição 2.2, poderíamos ter definido convergência em espaços métricos de acordo com a seguinte proposição.

Proposição 2.3. Seja xn X uma sequencia. Faça dn = d(xn,x). Então

xn x dn 0.

Onde a convergência do lado direito é dada pela Definição 2.2 ou, equivalentemente, pela métrica euclidiana em .

Demonstração. É evidente, pois d(xn,x) 0 se, e somente se, para todo 𝜀 > 0, existir N tal que

n N d(xn,x) < 𝜀.

Proposição 2.4. Seja xn X uma sequencia e x X. Então são equivalentes:

  1. A sequência converge para x: xn x.
  2. Para todo 𝜀 > 0, existe N tal que n N xn B𝜀(x).
  3. Para todo m , existe N tal que n N xn B 1 m (x).

Demonstração. A equivalência entre os itens (2) e (3) segue da Proposição 1.3.

Para a equivalência entre (1) e (2), basta notar que xn B𝜀(x) d(xn,x) < 𝜀, e então fazer a substituição na Definição 2.1. □

Definição 2.5 (Métricas topologicamente equivalentes). Enquanto não definimos o que é uma topologia, vamos dizer que duas métricas d1 e d2 sobre X determinam a mesma topologia (são topologicamente equivalentes) quando

xn d1x xn d2x.

O objetivo da primeira parte deste livro é o de dar motivação para os conceitos de topologia geral que serão apresentados na segunda parte. A este propósito serve a Proposição 2.4, que apresenta maneira alternativas de se olhar para a convergência de sequencias em espaços métricos. Na medida em que substituímos a métrica d(xn,x) pela bola B𝜀(x), as formulações ficam mais parecidas com suas correspondentes para espaços topológicos gerais

2.1.1 Exercícios

2.1.1. Dê exemplos de sequências em um espaço métrico que não convergem para nenhum ponto.

2.1.2. Não é imediato da definição de convergência que o limite de uma sequência, quando existir, será único. Ou seja, a princípio, não há garantias de que xn x e xn y implique que x = y. Demonstre a unicidade do limite de sequências em espaços métricos.

2.1.3. O que significa xn x na métrica discreta?

2.1.4.

Considere a aplicação

d : [0,1] + (xj),(yj) j=11 2j xj yj .

Mostre que nesta métrica, para xn = (xjn) [0,1], xn x = (xj) [0,1] se, e somente se, para todo j , xjn xj.

2.1.5. Considere a aplicação

d : [0,1] + (xj),(yj) j=1xj yj .

E seja

X = x [0,1] d x,0 < .

Exiba

  1. Uma sequência xn = (xjn) [0,1] tal que xjn xj , mas (xj)X.
  2. Uma sequência xn = (xjn) [0,1] tal que xjn xj , com x = (xj) X, mas que xn↛x.

E reflita sobre a inexistência desta patologia no caso do exercício 2.1.4.

2.1.6.

Considere a aplicação

d : [0,1] + (xj),(yj) supj=1xj yj .

Mostre que nesta métrica, para xn = (xjn) [0,1], xn x = (xj) [0,1] se, e somente se, para todo 𝜀 > 0, existe N tal que, independentemente da coordenada j , n > N d xjn,xj < 𝜀.

2.1.7.

Considere a aplicação

d : [0,1] + (xj),(yj) supj=1xj yj .

Exiba um exemplo de uma sequência xn = (xjn) [0,1], tal que xjn xj, mas xn↛x = (xj).

2.2 Continuidade

Olhando para o gráfico de uma função f : na Figura 2.2, você diria que f é contínua em a?


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Figura 2.2: Como formular matematicamente que f é descontínua em a?

De que modo podemos expressar formalmente o significado de f ser ou não contínua em a? Note que no exemplo da Figura 2.2,

f a + 1 n 2f(a).

Muitos expressam esse fato dizendo que f tem um “salto” em a.

Definição 2.6.

Sejam (X,dX) e (Y,dY ) espaços métricos. Dizemos que f : X Y é contínua em a X quando

an a f(an) f(a).

Definição 2.7.

Sejam (X,dX) e (Y,dY ) espaços métricos. Dizemos que f : X Y é contínua quando for contínua em todo ponto a X.

Notação. Também escrevemos f : (X,dX) (Y,dY ) para indicar que estamos considerando os espaços métricos (X,dX) e (Y,dY ), e que f é uma função de X em Y .

Observação 2.8. A continuidade depende apenas da “topologia” dos espaços considerados. Se f : X Y é contínua quando considerados os espaços métricos (X,dX) e (Y,dY ), então será contínua nos espaços (X,dX) e (Y,dY ) sempre que as métricas dX e dY forem equivalentes a dX e dY , respectivamente.

2.2.1 Exercícios

2.2.1.

Mostre que qualquer aplicação constante f : X,d X Y,d Y é contínua.

2.2.2.

Seja X = [0,1], e considere as métricas d 1 (xj),(yj) = supj xj yj e d 2 (xj),(yj) = j 1 2j xj yj. Mostre que

f :X,d 1 X,d 2 x x

é contínua, mas sua inversa

f1 :X,d 2 X,d 1 x x

não é.

2.2.3. Mostre que a função f1 do exercício 2.2.2 é descontínua em todo ponto de seu domínio.

2.2.4. Mostre que

f : x 0,x < 21 , x 2

é contínua quando e são dotados de suas métricas usuais.

2.2.5. Mostre que quando é dotado de sua métrica usual,

f : x 0,x 1 , x

não é contínua em nenhum ponto racional, mas que f| é contínua.

2.3 Topologia com Bolas

Até o presente momento, temos trabalhado com sequências. Nesta seção vamos formular os mesmos conceitos utilizando bolas. Para que a transição entre sequências e bolas seja suave, vamos começar reavaliando a Proposição 2.4.

A proposição afirma que dizer que xn converge para x é o mesmo que dizer que toda bola centrada em x contém todos os xn, exceto talvez para uma quantidade finita de índices n. Note que na Proposição 2.4 falávamos em “para todo 𝜀 > 0”, mas isso é o mesmo que dizer “para toda bola”!

Resumindo o que já havia sido feito, temos a seguinte caracterização para a convergência de uma sequência.

Proposição 2.9.

Seja X um espaço métrico e xn X uma sequência de elementos de X. Então, xn converge para x X se, e somente se, para toda bola B𝜀(x) centrada em x, existir N tal que

n N xn B𝜀(x).

Demonstração. Veja a Proposição 2.4. □

Proposição 2.10.

Sejam X e Y espaços métricos. Então as seguintes afirmações são equivalentes:

  1. A função f : X Y é contínua em a X.
  2. Para toda bola Bf(a) = B𝜀(f(a)) centrada em f(a), existe uma bola Ba = Bδ(a) centrada em a, tal que
    f(Ba) Bf(a).
  3. Para toda bola B = B𝜀(f(a)) centrada em f(a), f1(B) contém alguma bola centrada em a.

Demonstração. _ (2) (3)

A equivalência entre os itens (2) e (3) é evidente, já que dizer que existe uma bola é o mesmo que dizer que existe δ > 0.

_ (2) (1)

Vamos mostrar que o item (2) implica na continuidade de f no ponto a de acordo com a Definição 2.6. Seja xn a. Vamos mostrar que f(xn) f(a). Tome uma bola qualquer B centrada em f(a). Por hipótese, existe uma bola Ba centrada em a tal que

f(Ba) B.

Pela Proposição 2.9, temos que xn Ba exceto para um número finito de índices n. Ou seja, f(xn) f(Ba) B, exceto para um número finito de índices. O que pela Proposição 2.9 é o mesmo que dizer que f(xn) f(a).

_ (1) (3)

Suponha então que o item (3) não vale. Neste caso, existe uma bola B centrada em f(a) tal que f1(B) não contém nenhuma bola centrada em a. Para cada n , escolha xn B1 n (a) tal que f(xn)B. A sequência xn converge para a (por quê?), mas f(xn) não converge para f(a) (por que?). □

Observação 2.11. Repare como o item (2) se assemelha à definição de continuidade que utiliza argumentos do tipo 𝜀 δ:

Para todo 𝜀 > 0, existe δ > 0 tal que

d(x,a) < δ d(f(x),f(a)) < 𝜀.

Observação 2.12.

Para mostrar que a negação do item (3) implica na não continuidade de f, construímos uma sequência xn a tal que f(xn)↛f(x). Para isso, utilizamos as bolas B1 n (a) e a Proposição 1.3.

2.3.1 Exercícios

2.3.1.

Em um espaço métrico X, dado x X, dizemos que V X é uma vizinhança de x quando existir uma bola B𝜀(x) tal que B𝜀(x) V . Vamos denotar por 𝒱x a família de todas as vizinhanças de x. Mostre que uma aplicação f : X,d X Y,d Y é contínua em x X se, e somente se,

f1 𝒱f(x) 𝒱x.

Onde

f1 𝒱f(x) = f1(V ) V 𝒱f(x).

2.3.2.

Usando a mesma nomenclatura que no exercício 2.3.1, vamos chamar um conjunto A X de aberto quando para todo x A valer que A 𝒱x. Ou seja, um aberto é um conjunto que é vizinhança de todos os seus pontos. Mostre que uma aplicação f : X,d X Y,d Y é contínua se, e somente se, para todo aberto U Y , f1(U) for um aberto de X.

2.3.3.

Usando a nomenclatura do exercício 2.3.1, mostre que uma sequência xn x se, e somente se para toda vizinhança V de x, o conjunto

NV = n xnV

é finito.

2.3.4. Usando a nomenclatura do exercício 2.3.2, mostre que uma sequência xn x se, e somente se para todo aberto A contendo x, o conjunto

NA = n xnA

é finito.