3 Topologia de Espacos Metricos: releitura

Capítulo 3
Topologia de Espaços Métricos: releitura

Neste capítulo, vamos fazer uma releitura do que estudamos no Capítulo 2. Desta vez, vamos tentar eliminar o máximo possível os argumentos do tipo “epsilon e delta”. O objetivo é apresentar a topologia dos espaços métricos utilizando a métrica o mínimo possível, de modo a tornar a apresentação dos conceitos mais parecida com seus correspondentes quando trabalhamos com a chamada topologia geral (Deﬁnição 4.1).

O conceito mais importante e mais enfatizado nos cursos de topologia é o de conjunto aberto (Deﬁnição 3.10). No entanto, o conceito de vizinhança (Deﬁnição 3.1) é muito mais fundamental e mais natural, principalmente quando se faz o paralelo entre o ponto de vista da topologia geral e a topologia dos espaços métricos. O conceito de vizinhança é mais próximo e generaliza muito melhor o que se faz quando se utiliza argumentos com bolas, ou argumentos do tipo “epsilon e delta”, muito comuns quando tratamos de espaços métricos. Veja, por exemplo, os exercícios da seção 2.3.

3.1 Vizinhanças

Quando falamos de convergência e continuidade nos capítulos anteriores, estávamos de posse de uma métrica. A métrica nos dava a noção de distância que nos permitia falar de “proximidade”. Quando dizemos que $x_{n}$ converge para $x$ , não estamos de fato interessado nos pontos que estão “longe” de $x$ . Estamos interessados apenas nos que estão “próximos”. De fato, poderíamos nos restringir apenas a bolas “pequeninas”. Poderíamos nos restringir a bolas de raio menor que $1$ . Ou então, a bolas de raio $\frac{1}{2^{n}}$ . Ou, de modo um pouco mais geral, poderíamos nos restringir a bolas de raio $𝜀_{n} > 0$ , onde $𝜀_{n}$ é uma sequência qualquer tal que $𝜀_{n} \to 0$ .

Quando $x_{n}$ converge para $x$ , é porque se $V$ é um conjunto que contém $x$ e é de certa forma um conjunto suﬁcientemente grande, conterá toda a sequência $x_{n}$ , exceto para uma quantidade ﬁnita de índices $n$ . Esse suﬁcientemente grande, no caso de espaços métricos, signiﬁca que existe uma bola $B$ centrada em $x$ tal que $B \subset V$ . A esses conjuntos suﬁcientemente grandes, chamamos de vizinhanças de $x$ . (veja a Proposição 2.9)

Deﬁnição 3.1.

Seja $X$ um espaço métrico e $x \in X$ . Todo conjunto $V \subset X$ que contém uma bola centrada em $x$ é chamado de vizinhança de $x$ . Denotamos por $𝒱_{} (x)$ o conjunto de todas as vizinhanças do ponto $x$ .

Figura 3.1: O conjunto

V

é uma vizinhança

x

pois é “grande” o suﬁciente para conter uma bola centrada em

x

É imediato que toda bola centrada em $x$ é uma vizinhança de $x$ . Mais do que isso, pela Proposição 1.4, uma bola é vizinhança de todos os seus pontos. Esta propriedade está formalizada na proposição seguinte.

Proposição 3.2.

Se $B \subset X$ é uma bola em um espaço métrico $X$ . Então,

y \in B \Rightarrow B \in 𝒱_{} (y) .

Ou seja, uma bola é vizinhança de todos os seus pontos.

Demonstração. Veja a Proposição 1.4. Ou, para um argumento mais visual, compare as Figuras 1.3 e 3.1. □

A seguir, apresentamos algumas propriedades elementares das vizinhanças de um ponto.

Proposição 3.3.

Seja $X$ um espaço métrico e $x_{n}, x \in X$ . Então

x_{n} \to x

se, e somente se, para toda vizinhança de $x$ , $V \in 𝒱_{} (x)$ , existir $N \in ℕ$ tal que

n \geq N \Rightarrow x_{n} \in V .

Demonstração. Tome uma bola $B$ centrada em $x$ tal que $B \subset V$ . Para esta bola existe $N$ tal que

n \geq N \Rightarrow x_{n} \in B .

Em particular,

n \geq N \Rightarrow x_{n} \in V .

□

Proposição 3.4.

Seja $X$ um espaço métrico e $x \in X$ . Então valem as seguintes aﬁrmações sobre a família $𝒱_{} (x)$ de todas as vizinhanças de $x$ :

Se $A \in 𝒱_{} (x)$ e $A \subset B$ , então $B \in 𝒱_{} (x)$ .
A interseção de duas vizinhanças de $x$ também é uma vizinhança de $x$ . Ou seja, se $A, B \in 𝒱_{} (x)$ , então $A \cap B \in 𝒱_{} (x)$ .
Se $A \in 𝒱_{} (x)$ então existe $B \subset A$ tal que $x \in B$ e $B$ é vizinhança de todos os seus pontos.

Demonstração. O item (1) é imediato.

O item (2) é imediato do fato que as bolas centradas em $x$ são totalmente ordenadas. Ou seja, a que tiver o menor raio estará contida em ambos os conjuntos.

O item (3) é uma re-interpretação da Proposição 3.2. Basta tomar $B$ como sendo uma bola centrada em $x$ contida em $A$ . □

Observação 3.5.

Das propriedades listadas na Proposição 3.4, o item (3) é o de interpretação mais difícil. Vamos voltar a discutí-lo no em vários momentos durante a exposição sobre topologia geral, e principalmente no Capítulo ??. Uma das implicações do item (3), é a seguinte. A explicação pode ser acompanhada na Figura 3.2. Seja $V \in 𝒱_{} (x)$ . Suponha que para cada $n \in ℕ$ tenhamos uma sequência $x_{m}^{n} \notin V$ , indexada por $m$ , que converge para $x_{n}$ . Então, não é possível que a sequência $x_{n}$ convirja para $x$ . De fato, o item (3) da Proposição implica na existência de uma vizinhança aberta de $x$ contida em $V$ . Vamos chamar essa vizinhança de $B$ , que na ﬁgura representamos sugestivamente como uma “bola”. Assim, se tivéssemos que $x_{n}$ converge para $x$ , teríamos que para algum $k \in ℕ$ , $x_{k} \in B$ . Como $B$ também é vizinhança de $x_{k}$ (já que é vizinhança de todos os seus pontos), e como $x_{m}^{k} \to x_{k}$ , teríamos que para algum $j \in ℕ$ , $x_{j}^{k} \in B$ . Contrariando o fato de que $x_{j}^{k} \notin V$ .

Figura 3.2: Se

x_{n} \to x

, então algum

x_{m}^{n}

pertence a

V

. Este fato se deve ao item (3) da Proposição 3.4.

3.1.1 Exercícios

3.1.1.

Em um espaço métrico $X$ , dado um ponto qualquer $x \in X$ , existe uma família enumerável de vizinhanças $ℬ \subset 𝒱_{} (x)$ tal que para toda vizinhança $V \in 𝒱_{} (x)$ , existe $B \in ℬ$ tal que $x \in B \subset V$ , e tal que se $B_{1}, B_{2} \in ℬ$ , teremos que $B_{1} \subset B_{2}$ ou $B_{2} \subset B_{1}$ .

3.1.2. Seja $𝜀_{n} > 0$ uma sequência de números reais positivos tal que $𝜀_{n} \to 0$ . Mostre que, em um espaço métrico $X$ ,

𝒱_{} (x) = \{V \subset X| \exists n \in ℕ, B_{𝜀_{n}} (x) \subset V\} .

3.1.3. Seja $X$ um espaço métrico, $x \in X$ , e $ℬ$ a família de todas as bolas de $X$ que contém $x$ . Mostre que

𝒱_{} (x) = \{V \subset X| \exists B \in ℬ, B \subset V\} .

3.1.4. Mostre que em um espaço métrico, $V \in 𝒱_{} (x)$ se, e somente se, para toda sequência $x_{n} \to x$ , o conjunto

N_{V} = \{n \in ℕ| x_{n} \notin V\}

for ﬁnito.

3.1.5. Mostre, usando o exercício 3.1.1 e as proposições 3.2 e 3.3, que em um espaço métrico, se $x_{n}$ é uma sequência convergindo para $x$ , e $x_{n}^{m}$ é uma sequência (indexada por $m$ ) convergindo para $x_{n}$ , então existem sequências ilimitadas $n_{k}, m_{k} \in ℕ$ , tais que $x_{n_{k}}^{m_{k}} \to_{}^{k \to \infty} x$ .

3.2 Continuidade em um Ponto

Usando vizinhanças para expressar continuidade a formulação ﬁca muito simples. O trabalho todo já foi feito na Proposição 2.10.

Notação. Seja $X$ um conjunto. Chamamos de partes de $X$ , e denotamos por $𝒫 (X)$ , a família formada por todos os subconjuntos de $X$ . Assim, podemos olhar para $f^{- 1}$ como sendo a aplicação

\begin{matrix} f^{- 1} : & 𝒫 (Y) & \to & 𝒫 (X) \\ A & \mapsto & f^{- 1} (A) \end{matrix} .

Se $f : X \to Y$ e $ℱ \subset 𝒫 (Y)$ , escrevemos $f^{- 1} (ℱ)$ para indicar a família

f^{- 1} (ℱ) = \{f^{- 1} (A)| A \in ℱ\} .

Proposição 3.6.

Sejam $X$ e $Y$ espaços métricos. Então $f : X \to Y$ é contínua em $a \in X$ se, e somente se,

f^{- 1} (𝒱_{} (f (a))) \subset 𝒱_{} (a) .

Demonstração. Tome $V \in 𝒱_{} (f (a))$ . Então existe uma bola $B$ centrada em $f (a)$ , tal que $B \subset V$ . Pela Proposição 2.10, $f^{- 1} (B) \in 𝒱_{} (a)$ . Como $f^{- 1} (B) \subset f^{- 1} (V)$ , temos que $f^{- 1} (V) \in 𝒱_{} (a)$ .

Por outro lado, se $f^{- 1} (𝒱_{} (f (a))) \subset 𝒱_{} (a)$ , teremos que em particular $f^{- 1} (B) \in 𝒱_{} (a)$ para toda bola centrada em $f (a)$ . Ou seja, $f^{- 1} (B)$ contém uma bola centrada em $a$ para toda bola $B$ centrada em $f (a)$ . Novamente, pela Proposição 2.10, isso implica que $f$ é contínua em $a$ . □

Em se tratando de espaços métricos, tanto a deﬁnição 2.6, quanto qualquer uma de suas formulações equivalentes dadas pelas proposições 2.10 e 3.6, poderiam ser utilizadas como a deﬁnição de continuidade em um ponto. Poderíamos ter escolhido um caminho diferente e adotado uma deﬁnição de continuidade no estilo

Para todo $𝜀 > 0$ existe $δ > 0$ tal que

d (x, a) < δ \Rightarrow d (f (x), f (a)) < 𝜀 .

Cada caracterização enfatiza um aspecto diferente do fenômeno de continuidade. É importante que não nos acomodemos a apenas uma delas, mas que escolhamos a mais adequada a cada situação.

3.3 Base de Vizinhanças

Quando deﬁnimos o que seriam as vizinhanças de um ponto $x \in X$ de um espaço métrico, utilizamos as bolas centradas em $x$ . Chamando de $ℬ$ a família das bolas centradas em $x$ , temos que

ℬ \subset 𝒱_{} (x) .

Além do mais, todo conjunto $V \in 𝒱_{} (x)$ contém um conjunto $B \in ℬ$ . Ou seja, a sub-família $ℬ$ determina quais são as vizinhanças de $x$ . Poderíamos ter nos restringido às bolas de raio $\frac{1}{n}$ para compor a família $ℬ$ . As vizinhanças “geradas” por essa nova família $ℬ$ seriam exatamente as mesmas.

Deﬁnição 3.7. Seja $𝒱_{} (x)$ a família de todas as vizinhanças de $x \in X$ , onde $X$ é um espaço métrico. Então, dizemos que $ℬ \subset 𝒱_{} (x)$ é uma base de vizinhanças de $x$ quando

𝒱_{} (x) = \{V \subset X| \exists B \in ℬ, com B \subset Y\}

Proposição 3.8.

Seja $X$ um espaço métrico e $x \in X$ . Seja também $ℬ$ uma base de vizinhanças de $x$ . Então, uma sequência $x_{n}$ converge para $x$ se, e somente se, para todo $B \in ℬ$ existir $N = N (B) \in ℕ$ tal que

n \geq N \Rightarrow x_{n} \in B .

Demonstração. Dado $V \in 𝒱_{} (x)$ , escolha $B \in ℬ$ satisfazendo $B \subset V$ . Então, por hipótese, existe $N = N (B) \in ℕ$ tal que

n \geq N (V) = N (B) \Rightarrow x_{n} \in B \subset V .

Portanto, $x_{n} \to x$ . □

Proposição 3.9.

Sejam $X$ e $Y$ espaços métricos e $f : X \to Y$ . Sejam $a \in X$ e $ℬ$ uma base de vizinhanças de $f (a)$ . Então, $f$ é contínua em $a$ se, e somente se,

f^{- 1} (ℬ) \subset 𝒱_{} (a) .

Demonstração. Pela Proposição 3.6, basta mostrar que

f^{- 1} (ℬ) \subset 𝒱_{} (a) \Leftrightarrow f^{- 1} (𝒱_{} (f (a))) \subset 𝒱_{} (a) .

Uma direção é óbvia, já que $ℬ \subset 𝒱_{} (f (a))$ . Suponha então que $V \in 𝒱_{} (f (a))$ . Neste caso, existe $B \in ℬ$ tal que $B \subset V$ . Assim, $f^{- 1} (V) \supset f^{- 1} (B) \in 𝒱_{} (a)$ . Portanto, $f^{- 1} (V) \in 𝒱_{} (a)$ . □

A aplicação mais imediata da proposição é a equivalência entre as seguintes aﬁrmações, que são deﬁnições alternativas para a continuidade de $f$ no ponto $a$ :

Para todo $𝜀 > 0$ existe $δ > 0$ tal que

d (x, a) < δ \Rightarrow d (f (x), f (a)) < 𝜀 .

Para todo $n \in ℕ$ existe $m \in ℕ$ tal que

d (x, a) < \frac{1}{m} \Rightarrow d (f (x), f (a)) < \frac{1}{n} .

3.4 Conjuntos Abertos

Um conjunto aberto é um conjunto que é vizinhança de todos os seus pontos. A Proposição 1.4 mostra que em um espaço métrico, todas as bolas são abertas. Por isso, muitos autores usam a expressão bola aberta para se referirem ao que neste livro deﬁnimos como bola. Ainda vamos formalizar isso melhor, mas os conjuntos abertos caracterizam toda a topologia do espaço, haja visto que a família

𝒜_{x} = \{V \in 𝒱_{} (x)| V é aberto\}

é uma base de vizinhanças de $x$ para todo $x \in X$ . (veja o item (3) da Proposição 3.4)

Conhecendo todos os conjuntos abertos, sabemos quem são as sequências convergentes, quais funções são ou não contínuas e, conforme já mencionado, quais são as vizinhanças de um ponto.

Deﬁnição 3.10.

Seja $X$ um espaço métrico. Dizemos que um conjunto $A \subset X$ é aberto quando satisfaz

x \in A \Rightarrow A \in 𝒱_{} (x) .

Deﬁnição 3.11.

Dado um espaço métrico $(X, d)$ , a topologia de $X$ induzida por $d$ , denotada por $τ_{d}$ — ou, mais comumente, por um abuso de notação, denotada por $τ_{X}$ — é a família de todos os abertos de $X$ . Isto é,

τ_{X} = \{A \subset X| A é aberto\} .

Proposição 3.12.

Seja $X$ um espaço métrico e $x \in X$ . Então a família

𝒜_{x} = 𝒱_{} (x) \cap τ_{X}

é uma base de vizinhanças de $x$ .

Demonstração. Basta notar que, chamando de $ℬ$ a coleção de todas as bolas centradas em $x$ ,

ℬ \subset 𝒜_{x} \subset 𝒱_{} (x) .

Como $ℬ$ é uma base de vizinhanças de $x$ , qualquer família “entre” $ℬ$ e $𝒱_{} (x)$ também é uma base de vizinhanças de $x$ . (porquê?) □

Proposição 3.13.

Seja $X$ um espaço métrico. Então, $τ_{X}$ tem as seguintes propriedades:

$\emptyset, X \in τ_{X}$ .
Se $A, B \in τ_{X}$ , então $A \cap B \in τ_{X}$ .
Se $A_{λ} \in τ_{X}$ para uma família qualquer de índices $λ \in Λ$ , então $⋃_{λ \in Λ} A_{λ} \in τ_{X}$ .

Demonstração. Para o item (1), é fácil ver que $X$ é vizinhança de qualquer ponto $x \in X$ . Para o conjunto vazio … note que todos os elementos do conjunto vazio satisfazem a propriedade que você quiser. Neste caso, a propriedade de terem $\emptyset$ como vizinhança. Em suma:

x \in \emptyset \Rightarrow \emptyset \in 𝒱_{} (x) .

E portanto, $\emptyset \in τ_{X}$ .

O item (2) é consequência do item (2) da Proposição 3.4. Ou seja, se $x \in A \cap B$ , como $A$ e $B$ são vizinhanças de $x$ , então $A \cap B$ também é. Assim, $A \cap B$ é vizinhança de todos os seus pontos.

Do mesmo modo, o item (3) é consequência do item (1) da Proposição 3.4, pois

x \in ⋃_{λ \in Λ} A_{λ} \Rightarrow \exists λ \in Λ, x \in A_{λ} \subset ⋃_{λ \in Λ} A_{λ} \Rightarrow ⋃_{λ \in Λ} A_{λ} \in 𝒱_{} (x) .

Ou seja, $⋃_{λ \in Λ} A_{λ}$ é vizinhança de todos os seus pontos e é portanto aberto. □

Proposição 3.14.

Seja $X$ um espaço métrico e $A \subset X$ . Então, são equivalentes:

O conjunto $A$ é aberto.
O conjunto $A$ pode ser escrito como uma união de bolas.

Demonstração. Se $A$ é aberto, então para cada ponto $x \in A$ existe uma bola $B_{x}$ centrada em $x$ e contida em $A$ . Desta forma, é evidente que

A = ⋃_{x \in A} B_{x} .

Ou seja, $A$ é uma união de bolas.

Por outro lado, sabemos que as bolas são conjunto abertos. Assim, qualquer conjunto que seja uma união de bolas é, pelo item (3) da Proposição 3.13, um conjunto aberto. □

3.4.1 Sequências e Convergência com Abertos

Dado um espaço métrico $X$ . Podemos caracterizar o fenômeno de convergência em termos de sua topologia $τ_{X}$ ? De fato, para dizer se $x_{n} \in X$ converge ou não para um certo $x \in X$ , de acordo com a Proposição 3.8, precisamos apenas conhecer uma base de vizinhanças de $x$ qualquer. Sabemos que os abertos que contém $x$ formam uma base de vizinhanças de $x$ . Sendo assim, colcluímos que $x_{n}$ converge para $x$ se, e somente se, para todo aberto $A$ que contenha o ponto $x$ existir $N \in ℕ$ tal que

n \geq N \Rightarrow x_{n} \in A .

3.5 Continuinuidade em Todo Ponto

Uma aplicação $f : X \to Y$ entre espaços métricos $X$ e $Y$ é contínua quando é contínua em todo ponto do seu domínio. Se considerarmos $f^{- 1} : 𝒫 (Y) \to 𝒫 (X)$ , a função $f$ será contínua em $x \in X$ quando $f^{- 1}$ levar vizinhanças de $f (x)$ em vizinhanças de $x$ . Sendo assim, para $f$ contínua, se $A \subset Y$ for um conjunto aberto (vizinhança de todos os seus pontos), então $f^{- 1} (A)$ será também vizinhança de todos os seus pontos. Ou seja, se $f$ é contínua, então $f^{- 1} (τ_{Y}) \subset τ_{X}$ . Vamos formalizar isso.

Proposição 3.15.

Sejam $X$ e $Y$ espaços métricos, e $f : X \to Y$ uma função qualquer. As seguintes aﬁrmações são equivalentes:

A função $f$ é contínua em todo ponto de $X$ .
A imagem inversa de um aberto é também um conjunto aberto. Ou seja, $f^{- 1} (τ_{Y}) \subset τ_{X}$ .

Demonstração. _ (2) $\Rightarrow$ (1)

Seja $A \in τ_{Y}$ . Então, para todo $x \in f^{- 1} (A)$ temos que $A$ é vizinhança de $f (x)$ , e pela Proposição 3.6, $f^{- 1} (A)$ é vizinhança de $x$ . Ou seja, $f^{- 1} (A)$ é aberto.

_ (1) $\Rightarrow$ (2)

Sabemos pela Proposição 3.12 que para todo $x \in X$ ,

𝒜_{f (x)} = 𝒱_{} (f (x)) \cap τ_{Y}

é uma base de vizinhanças de $f (x)$ . Pelo item (2), temos que $f^{- 1} (𝒜_{f (x)})$ é aberto e obviamente contém $x$ . Ou seja, $f^{- 1} (𝒜_{f (x)}) \in 𝒱_{} (x)$ . Pela Proposição 3.9, segue que $f$ é contínua em $x$ . □

O exemplo seguinte mostra que nem toda bijeção contínua tem inversa contínua.

Exemplo 3.16. Considere $(ℝ, d_{|\cdot|})$ e $(ℝ, d_{d})$ os espaços métricos dados pelos números reais com a métrica euclidiana (Exemplo 1.8) e a métrica discreta (Exemplo 1.9), respectivamente. Então, a aplicação identidade

id : (ℝ, d_{d}) \to (ℝ, d_{|\cdot|})

é contínua, mas sua inversa não é. De fato, na topologia dada pela métrica discreta, todos os conjuntos são abertos. Ou seja, $τ_{d_{d}} = 𝒫 (ℝ)$ .

E o que signiﬁca então dizer que $f : X \to Y$ é bijetiva, contínua e sua inversa é contínua? O fato de ser uma bijeção implica que podemos identiﬁcar os pontos de $X$ com os pontos de $Y$ . O fato de ser contínua com inversa contínua signiﬁca que com essa identiﬁcação as estruturas topológicas $τ_{X}$ e $τ_{Y}$ também são identiﬁcadas. Esse tipo de função $f$ é chamada de homomorﬁsmo. De modo geral, quando $f : (X, d_{X}) \to (Y, d_{Y})$ é uma função bijetiva qualquer, contínua ou não, com inversa também podendo ser ou não contínua, podemos transportar a métrica $d_{Y}$ para $X$ como feito no Exemplo 1.14:

d^{'} (a, b) = d_{Y} (f (a), f (b)) .

Desta forma, reduzimos o problema ao caso da aplicação identidade

id : (X, d_{X}) \to (X, d^{'}),

pois a aplicação $f$ será contínua (ou sua inversa será contínua) se, e somente se, a identidade o for. Em outras palavras, dizer que $f$ é contínua é o mesmo que dizer que $τ_{d^{'}} \subset τ_{d_{X}}$ . Dizer que a inversa de $f$ é contínua, é o mesmo que dizer que $τ_{d_{X}} \subset τ_{d^{'}}$ . Assim, $f$ será um homeomorﬁsmo quando $τ_{d^{'}} = τ_{d_{X}}$ .

Deﬁnição 3.17.

Se $X$ e $Y$ são espaços métricos, então uma função $f : X \to Y$ é chamada de homomorﬁsmo quando é bijetiva, contínua com inversa também contínua.

Capítulo 3Topologia de Espaços Métricos: releitura