Os espaços métricos são sem dúvida a melhor motivação para o estudo da topologia geral. No entanto, existem muitos conceitos, como os de sequência de Cauchy, completude, limitação e continuidade uniforme, que não são conceitos topológicos. O que acontece é que os textos que tratam de topologia dos espaços métricos dão muita ênfase a esses conceitos, à equivalência de métricas, ao completamento de espaços, e por aí vai. O fato é que dessa forma não se tem um curso de topologia, tem-se um curso de espaços métricos.
Por outro lado, sem falar de espaços métricos é muito difícil dar alguma motivação para o que venha a ser uma topologia. Assim, neste livro, fizemos uma introdução rápida aos espaços métricos sem nenhuma menção a questões que não sejam puramente topológicas. Falamos de bolas, de convergência e de continuidade. A idéia é a de se fazer uma transição entre as formulações que enfatizam mais a métrica até chegar a formulações que dependam apenas da topologia do espaço.
Um outro diferencial deste livro está na busca por maneiras alternativas de se olhar para os fenômenos topológicos. Em geral os conjuntos abertos recebem atenção demasiada. Por exemplo, quando estudamos análise funcional, estamos bastante interessados na continuidade de operadores lineares em topologias que são invariantes por translações. Neste caso a continuidade se resume à continuidade na origem. Quando consideramos a continuidade em um único ponto do espaço, a preocupação em demonstrar que determinados conjuntos são abertos é um exagero desnecessário. Deveríamos nos preocupar se estes conjuntos são ou não vizinhanças de . A intenção é que o leitor consiga identificar maneiras alternativas que melhor se adaptem ao fenômeno que está sendo analisado. Para um determinado caso, talvez o melhor seja considerar abertos, talvez vizinhanças, redes, sequências, fechados, filtros e etc.